メビウス変換と複比の保存 | 幾何の定理ギャラリー

1 まず図で見る：円が円または直線へ移る

具体例として

f(z)=\frac{1}{z-2}

を考える。これは $(a,b,c,d)=(0,1,1,-2)$ で、行列式は $-1$ である。単位円上の点を $z=\cos t+i\sin t$ とすると、 $w=f(z)=x+iy$ の実部と虚部は

x=\frac{\cos t-2}{5-4\cos t},\qquad y=\frac{-\sin t}{5-4\cos t}

となる。下の図では、同じ $t$ から得た点 $z$ と $w$ をそれぞれの円の上に表示している。さらに、動かす円を中心 $m$ （実数）、半径 $r$ の円 $\Gamma$ へ一般化し、 $m$ と $r$ をスライダーで変えることができるようにした。 $d=(2-m)^2-r^2$ と置くと、像は中心 $(m-2)/d$ 、半径 $r/|d|$ の円である。 $m=0$ 、 $r=1$ が上の単位円の場合であり、このとき $d=3$ で、中心 $-2/3$ 、半径 $1/3$ が得られる。

図から「円が円になる」ことは見えた。しかし、有限個の $t$ を動かした観察や、図を描くための数値計算は証明ではない。以下では、無限遠点を含む定義に戻り、どの点を選んでも成り立つ理由を示す。

2 拡張複素平面とメビウス変換

定義 2.1 (拡張複素平面). 拡張複素平面を

\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}

と定める。複素数 $z$ を同じ複素数で表し、 $\infty$ は有限な複素数ではない追加の1点とする。複素数 $z$ が大きさ無限大へ近づくときの行き先を記述するため、 $\infty$ の近くの座標を $\zeta=1/z$ とする。

定義 2.2 (メビウス変換). $a,b,c,d\in\mathbb C$ が

\Delta=ad-bc\ne0

を満たすとする。有限な $z$ で $cz+d\ne0$ のとき

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

と定める。 $c\ne0$ かつ $cz+d=0$ なら $f(z)=\infty$ とし、無限遠点では

f(\infty)= \begin{cases} a/c & (c\ne0),\\ \infty & (c=0) \end{cases}

と定める。この $f:\widehat{\mathbb C}\to\widehat{\mathbb C}$ をメビウス変換という。

$\Delta\ne0$ なら $a$ と $c$ が同時に $0$ になることも、 $b$ と $d$ が同時に $0$ になることもない。したがって、分子と分母が同時に $0$ になる曖昧な点はない。行列

M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

で表すと、 $z$ を同次座標 $Z=(u,v)^{\mathsf T}$ の $z=u/v$ （ $v\ne0$ ）、 $\infty=[1:0]$ として

Z\longmapsto MZ

と書ける。 $\det M=\Delta\ne0$ なのでこれは可逆で、逆変換は

f^{-1}(w)=\frac{dw-b}{-cw+a}

（無限遠点では同じ規則を適用）である。よってメビウス変換は拡張複素平面の全単射である。

3 円と直線の統一

定義 3.1 (一般化円). $\widehat{\mathbb C}$ の一般化円とは、普通の円または直線を、直線の場合には $\infty$ を加えて表した集合である。有限部分は、実数 $A,C$ と複素数 $B$ を用いて

A|z|^2+Bz+\overline{B}\,\overline z+C=0

と書ける。ただし、普通の円の場合は $A\ne0$ 、直線の場合は $A=0$ かつ $B\ne0$ とする。

補題 3.2 (相似変換と対称移動による一般化円の像). $\alpha,\beta\in\mathbb C$ 、 $\alpha\ne0$ とし、 $g(z)=\alpha z+\beta$ 、 $g(\infty)=\infty$ と定める。また $\kappa(z)=\overline z$ 、 $\kappa(\infty)=\infty$ と定める。 $g$ と $\kappa$ はどちらも普通の円を普通の円へ、直線を直線へ写す。したがってどちらも一般化円を一般化円へ写す。

証明. 相異なる2つの有限な複素数 $z,w$ に対し $|g(z)-g(w)|=|\alpha|\,|z-w|$ と $|\kappa(z)-\kappa(w)|=|z-w|$ が成り立つ。以下、 $h$ を $g$ または $\kappa$ とし、 $k$ をそれぞれ $|\alpha|$ または $1$ とする。 $h$ は $\widehat{\mathbb C}$ の全単射であり、その逆写像 $g^{-1}(w)=(w-\beta)/\alpha$ と $\kappa^{-1}=\kappa$ も同じ形をもつ。

直線 $\ell$ の上に相異なる2点 $z_1,z_2$ をとると、 $\ell=\{z_1+t(z_2-z_1)\mid t\in\mathbb R\}$ である。 $g$ と $\kappa$ はどちらも実数倍と和を保つので、

h(z_1+t(z_2-z_1))=h(z_1)+t\bigl(h(z_2)-h(z_1)\bigr)\qquad(t\in\mathbb R)

が成り立つ。 $h$ は単射だから $h(z_1)\ne h(z_2)$ であり、右辺が $t$ の全体を動いて得る集合は $h(z_1)$ と $h(z_2)$ を通る直線の全体である。よって $h(\ell)$ はその直線である。 $h(\infty)=\infty$ なので、 $\ell\cup\{\infty\}$ の像は $h(\ell)\cup\{\infty\}$ である。▨

補題 3.3 (メビウス変換の分解). $\Delta=ad-bc\ne0$ とし、 $f$ を定義 2.2のメビウス変換とする。 $c=0$ のとき $d\ne0$ であり

f(z)=\frac ad\,z+\frac bd

である。 $c\ne0$ のとき、 $T(z)=z+\dfrac dc$ 、 $J(z)=\dfrac1z$ 、 $S(w)=\dfrac ac-\dfrac{\Delta}{c^2}\,w$ と置くと

f=S\circ J\circ T

が $\widehat{\mathbb C}$ の全体で成り立つ。ここで $T(\infty)=S(\infty)=\infty$ 、 $J(0)=\infty$ 、 $J(\infty)=0$ と定める。

証明. $c=0$ のとき $\Delta=ad\ne0$ なので $d\ne0$ であり、有限な $z$ に対して $f(z)=(az+b)/d$ である。 $c=0$ の場合の定義により $f(\infty)=\infty$ であり、表示の右辺も $\infty$ を $\infty$ へ写す。

$c\ne0$ とする。 $z$ が有限で $z\ne-d/c$ なら $z+d/c\ne0$ であり

S(J(T(z)))=\frac ac-\frac{\Delta}{c^2}\cdot\frac{1}{z+d/c} =\frac ac-\frac{\Delta}{c(cz+d)} =\frac{a(cz+d)-\Delta}{c(cz+d)} =\frac{c(az+b)}{c(cz+d)} =f(z)

となる。3つ目の等号から4つ目の等号へは $a(cz+d)-(ad-bc)=acz+bc=c(az+b)$ を用いた。 $z=-d/c$ では $T(z)=0$ 、 $J(0)=\infty$ 、 $S(\infty)=\infty$ であり、定義でも $f(-d/c)=\infty$ である。 $z=\infty$ では $T(\infty)=\infty$ 、 $J(\infty)=0$ 、 $S(0)=a/c$ であり、定義でも $f(\infty)=a/c$ である。▨

補題 3.4 (逆数と単位円に関する反転). $\iota$ を原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の反転（§A5.19 定義 2.1）とし、 $\iota(0)=\infty$ 、 $\iota(\infty)=0$ と定めて $\widehat{\mathbb C}$ へ拡張する。 $\kappa(z)=\overline z$ とすると、 $\widehat{\mathbb C}$ の全体で

J=\kappa\circ\iota=\iota\circ\kappa

が成り立つ。ここで $J(z)=1/z$ は補題 3.3の $J$ である。

証明. 複素数 $z$ を、原点を基準点とする位置ベクトルとして見る。この同一視のもとで、複素数の絶対値は原点からの距離であり、実数倍はベクトルの実数倍である。 $z\ne0$ が有限なとき、§A5.19 定義 2.1の反転像 $z^{*}$ は半直線 $\mathrm{O}z$ の上にあって $\mathrm{O}z\cdot\mathrm{O}z^{*}=1$ を満たすから、正の実数倍として

\iota(z)=\frac{z}{|z|^{2}}

と書ける。したがって

\kappa(\iota(z))=\overline{\left(\frac{z}{|z|^{2}}\right)}=\frac{\overline z}{|z|^{2}}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac1z

であり、 $\iota(\kappa(z))=\overline z/|\overline z|^{2}=\overline z/|z|^{2}$ も同じ値である。 $z=0$ では3つの写像の値がいずれも $\infty$ 、 $z=\infty$ ではいずれも $0$ である。▨

定理 3.5 (メビウス変換の円円対応). $f$ を $\Delta=ad-bc\ne0$ を満たすメビウス変換とする。 $f$ は $\widehat{\mathbb C}$ の一般化円を一般化円へ写す。したがって、普通の円の像は普通の円または直線であり、直線の像も普通の円または直線である。

証明. $c=0$ のとき、補題 3.3により $f(z)=(a/d)z+b/d$ であり、 $\Delta=ad\ne0$ から $a/d\ne0$ である。補題 3.2を $\alpha=a/d$ 、 $\beta=b/d$ に適用すると、 $f$ は一般化円を一般化円へ写す。

$c\ne0$ とする。補題 3.3により $f=S\circ J\circ T$ であり、 $T$ と $S$ はいずれも補題 3.2の $g(z)=\alpha z+\beta$ の形をもつ（ $T$ では $\alpha=1$ 、 $S$ では $\alpha=-\Delta/c^{2}\ne0$ ）。したがって $T$ と $S$ は一般化円を一般化円へ写す。さらに補題 3.4により $J=\kappa\circ\iota$ であり、 $\kappa$ も補題 3.2により一般化円を一般化円へ写す。残る $\iota$ について、一般化円 $\Gamma$ を次の4つの場合に分けて調べる。位置ベクトルを複素数と同一視し、§A5.19 定理 3.1を反転の中心 $\mathrm{O}$ が原点、半径が $\rho=1$ の場合に適用する。

$\Gamma$ が $\mathrm{O}$ を通らない普通の円である場合。中心を $\gamma$ 、半径を $r>0$ とし $\delta=|\gamma|^{2}-r^{2}$ と置くと $\delta\ne0$ であり、 $\iota(\Gamma)$ は中心 $\gamma/\delta$ 、半径 $r/|\delta|$ の円である。この円が $\mathrm{O}$ を通るのは $|\gamma|/|\delta|=r/|\delta|$ のとき、すなわち $|\gamma|=r$ のときに限るが、これは $\mathrm{O}\in\Gamma$ を意味するので、いまの場合には起こらない。よって像は $\mathrm{O}$ を通らない普通の円である。
$\Gamma$ が $\mathrm{O}$ を通る普通の円である場合。 $\iota$ は $\Gamma\setminus\{\mathrm{O}\}$ を、 $\mathrm{O}$ を通らない直線 $\ell$ の全体へ写す。 $\iota(\mathrm{O})=\infty$ であるから $\iota(\Gamma)=\ell\cup\{\infty\}$ であり、これは一般化円である。
$\Gamma=\ell\cup\{\infty\}$ で $\ell$ が $\mathrm{O}$ を通らない場合。 $\iota(\ell)$ は $\mathrm{O}$ を通るある円 $\Gamma'$ に含まれ、有限な点の反転像は $\mathrm{O}$ にならないので $\iota(\ell)\subset\Gamma'\setminus\{\mathrm{O}\}$ である。逆の包含を次のように得る。 $\iota$ は $\mathbb C\setminus\{\mathrm{O}\}$ の上で自分自身を逆写像とする（§A5.19 定理 2.2の 2）。 $\Gamma'$ は $\mathrm{O}$ を通る円だから、場合 2 の等号を $\Gamma'$ へ適用すると $\iota(\Gamma'\setminus\{\mathrm{O}\})$ は $\mathrm{O}$ を通らない直線の全体である。この直線は $\iota(\iota(\ell))=\ell$ を含むので $\ell$ に等しい。両辺へもう一度 $\iota$ を施すと $\Gamma'\setminus\{\mathrm{O}\}=\iota(\ell)$ を得る。 $\iota(\infty)=\mathrm{O}$ であるから $\iota(\Gamma)=\Gamma'$ である。
$\Gamma=\ell\cup\{\infty\}$ で $\ell$ が $\mathrm{O}$ を通る場合。 $\iota$ は $\ell\setminus\{\mathrm{O}\}$ を自分自身へ写し、§A5.19 定理 2.2の 2 によりこれは $\ell\setminus\{\mathrm{O}\}$ の上の全単射である。さらに $\mathrm{O}$ と $\infty$ を入れ替えるので $\iota(\Gamma)=\Gamma$ である。

いずれの場合も、上で求めたのは $\iota(\Gamma)$ そのものであり、それは一般化円である。 $\kappa$ 、 $T$ 、 $S$ についても補題 3.2が像そのものを与える。よって $f=S\circ\kappa\circ\iota\circ T$ は一般化円を一般化円へ写す。▨

注意 3.6 (この証明が扱う配置と除いた場合). 上の証明は、円が極を通る場合と直線が反転の中心を通る場合を場合分けとして扱っており、退化として除いてはいない。除いたのは $\Delta=0$ の場合だけである。 $\Delta=0$ のとき、 $c\ne0$ なら $f$ は $z\ne-d/c$ で値 $a/c$ をとり、 $z=-d/c$ では分子と分母がともに $0$ になって式が定まらない。 $c=0$ なら $a=0$ または $d=0$ となって、 $f$ は定数写像になるか、式そのものが定まらない。どちらの場合も像は一般化円ではない。

一般化円の方程式を同次座標で書くと、メビウス変換を行列の作用として扱うことができる。 $Z=(u,v)^{\mathsf T}\ne0$ に対し、

H=\begin{pmatrix}A&\overline B\\B&C\end{pmatrix},\qquad Z^*HZ=0

と置く。ここで $Z^*$ は共役転置である。 $v=1$ とすれば定義 3.1の有限部分の方程式になり、 $Z=[1:0]$ （つまり $\infty$ ）を代入すると $A=0$ のときだけ $\infty$ が入る。さらに $\det H=AC-|B|^2<0$ なら、 $A\ne0$ のとき半径が正の円、 $A=0$ のとき直線になる。

証明 (別証明：同次座標の二次形式による証明). 一般化円を表す $H$ を上の形でとり、 $W=MZ$ とおく。 $M$ は可逆なので $Z=M^{-1}W$ であり、元の一般化円の像は

W^*(M^{-1})^*HM^{-1}W=0

を満たす $W$ の集合である。ここで

H'=(M^{-1})^*HM^{-1}

とおく。 $H$ がエルミート行列（ $H^*=H$ ）なので $H'$ もエルミート行列であり、対角成分は実数、非対角成分は互いに共役である。また行列式は

\det H'=\det((M^{-1})^*)\det(H)\det(M^{-1}) =\frac{\det H}{|\det M|^2}<0

となる。したがって $H'$ も、 $W^*H'W=0$ が普通の円または $\infty$ を含む直線を表す型である。実際、有限部分で $H'=\left(\begin{smallmatrix}A'&\overline{B'}\\B'&C'\end{smallmatrix}\right)$ と書けば、 $A'\ne0$ のときは平方完成により中心 $-\overline{B'}/A'$ 、半径 $\sqrt{|B'|^2-A'C'}/|A'|$ の円となり、 $A'=0$ のときは $B'\ne0$ なので直線となる。

$M$ は全単射だから、この零点集合は「像に含まれる集合」ではなく像そのものである。よって一般化円は一般化円へ写る。▨

普通の円が直線へ変わる境目は、その円が $f$ の極

z_0=-d/c\qquad(c\ne0)

を通る場合である。このとき円上の $z_0$ は $\infty$ へ移るので、有限平面だけを見れば円から1点が抜け、像は直線に見える。拡張複素平面に $\infty$ を戻すと、対応は途切れない。

$f(z)=1/(z-2)$ の極は $z_0=2$ である。中心 $2-s$ 、半径 $s>0$ の円はこの極を通る。 $u=z-2$ と置くと、この円は $|u+s|=s$ 、すなわち $|u|^2+2s\operatorname{Re}u=0$ である。 $w=f(z)=1/u$ を代入し、 $|u|^2=1/|w|^2$ と $\operatorname{Re}u=\operatorname{Re}w/|w|^2$ を用いると $1+2s\operatorname{Re}w=0$ を得る。したがって像は直線 $\operatorname{Re}w=-1/(2s)$ である。

4 角度の保存

定理 4.1 (メビウス変換の角度保存). $f$ をメビウス変換とし、 $p\in\widehat{\mathbb C}$ で交わる2本の滑らかな曲線の接ベクトルがともに $0$ でないとする。 $f$ による像曲線が定義される点で、2曲線の交角は保存される。有限点 $p=z_0\in\mathbb C$ で $cz_0+d\ne0$ のとき、これは特に

f'(z_0)=\frac{\Delta}{(cz_0+d)^2}\ne0

が、2本の接ベクトルに同じ回転と拡大を施すことを意味する。角度の主張は、接線が存在し、曲線が極で途切れない範囲での主張である。

証明. まず有限な正則点 $z_0$ を考える。 $h\to0$ に対して、分子を展開すると

\begin{aligned} f(z_0+h)-f(z_0) &=\frac{(a(z_0+h)+b)(cz_0+d)-(az_0+b)(c(z_0+h)+d)} {(cz_0+d)(c(z_0+h)+d)}\\ &=\frac{\Delta h}{(cz_0+d)(c(z_0+h)+d)}. \end{aligned}

したがって

\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} =\frac{\Delta}{(cz_0+d)^2}\ne0.

曲線 $\gamma_j(t)$ （ $j=1,2$ ）が $\gamma_j(0)=z_0$ 、 $\gamma'_j(0)\ne0$ を満たすなら、連鎖律により

(f\circ\gamma_j)'(0)=f'(z_0)\gamma'_j(0).

複素数 $f'(z_0)$ を掛ける操作は、絶対値を $|f'(z_0)|$ 倍し、偏角を $\arg f'(z_0)$ だけ足す。同じ数を2本の接ベクトルに掛けるので、2本の偏角の差、すなわち交角は変わらない。

$p=\infty$ 、または $p$ か $f(p)$ が有限座標では極になる場合も、局所座標を取り替えれば同じ計算になる。具体的には $\infty$ の近くで $\zeta=1/z$ 、像側が $\infty$ の近くなら $\eta=1/w$ を使う。 $\eta\circ f\circ\zeta^{-1}$ は $\zeta=0$ の近くで分子と分母が同時に消えない一次分数式となり、その導関数は上の計算（係数を取り替えただけ）で $0$ ではない。したがって局所座標で接ベクトルに同じ複素数を掛けることになり、交角はここでも保存される。▨

特に、2つの一般化円が交わる点での角度は、メビウス変換の前後で同じである。たとえば円周角を接線との角へ読み替える発想は、既習の§A5.5 定理 1.1や接弦定理と同じく「角を別の図形の角へ移す」操作だが、メビウス変換では長さを保たなくても角度だけが残る。

命題 4.2. $f$ を $\Delta\ne0$ のメビウス変換とし、 $p$ を有限な複素数で $f$ の極でないものとする。 $p$ で交わる2本の滑らかな曲線の接ベクトルがともに $0$ でなく、それぞれの像曲線が $f(p)$ で接線をもつとする。このとき、 2曲線の $p$ における交角は、大きさも向きも像曲線の $f(p)$ における交角と一致する。

証明 (反転と相似変換による証明). $\alpha\ne0$ に対する $g(z)=\alpha z+\beta$ を考える。 $\alpha=|\alpha|(\cos\theta+i\sin\theta)$ と書けば、 $g$ は原点を中心とする角 $\theta$ の回転と、原点を中心とする比 $|\alpha|$ の相似拡大と、 $\beta$ による平行移動の合成である。回転・相似拡大・平行移動はいずれも2直線のなす角を大きさも向きも変えずに写すので、 $g$ は交わる2曲線の接線のなす角を大きさも向きも保つ。 $\kappa(z)=\overline z$ は実軸に関する対称移動なので、角の大きさを保ち、向きを逆にする。

$c=0$ のとき、補題 3.3により $f$ は $\alpha=a/d\ne0$ 、 $\beta=b/d$ の $g$ そのものであり、主張が従う。

$c\ne0$ とする。補題 3.3と補題 3.4により $f=S\circ\kappa\circ\iota\circ T$ である。 $p$ が極でないことから $T(p)=p+d/c\ne0$ であり、 $\iota$ は $T(p)$ の近傍で定義されている。 $S\circ\kappa$ は逆をもつ実一次写像なので、 $\iota\circ T$ による像曲線は $f$ による像曲線を $(S\circ\kappa)^{-1}$ で写したものであり、仮定により後者が $f(p)$ で接線をもつことから、前者も $\iota(T(p))$ で接線をもつ。§A5.19 定理 4.1の仮定が満たされるので、 $\iota$ は $T(p)$ で交わる2曲線の接線のなす角の大きさを保ち、向きを逆にする。 $T$ と $S$ は $g$ の形なので角を大きさも向きも保つ。したがって $f$ の下で、角の大きさは4つの写像を通して変わらず、向きの反転は $\iota$ と $\kappa$ で2回起こって打ち消し合う。よって $f$ は $p$ における交角を大きさも向きも保つ。▨

注意 4.3 (反転による証明が扱う範囲).命題 4.2は、 $p$ が有限で $f$ の極でない場合を扱う。この場合には $f(p)$ も有限である。 $p=\infty$ の場合と $p$ が極である場合には、§A5.19 定理 4.1を適用する有限の点が無い。この2つの場合を含む主張が定理 4.1であり、その証明が用いた局所座標 $\zeta=1/z$ と $\eta=1/w$ による計算が、反転による証明の届かない範囲を補っている。

5 複比

定義 5.1 (複比). 拡張複素平面上の相異なる4点 $z_1,z_2,z_3,z_4$ に対し、分母が $0$ にならないとき、その複比を同次座標で

(z_1,z_2;z_3,z_4) =\frac{[Z_3,Z_1][Z_4,Z_2]}{[Z_3,Z_2][Z_4,Z_1]}, \qquad Z_j=\begin{pmatrix}u_j\\v_j\end{pmatrix},\quad z_j=[u_j:v_j]

と定める。ただし

[U,V]=u_Uv_V-v_Uu_V

である。相異なる4点なら分母は自動的に $0$ でない。有限点 $z_j\in\mathbb C$ では

(z_1,z_2;z_3,z_4) =\frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)}.

同次座標の代表 $Z_j$ は $0$ でない複素数倍までしか決まらないが、分子と分母で各 $Z_j$ の倍数が 1回ずつ現れるため、値は代表の選択によらない。 $z_4=\infty$ のときも、 $Z_4=(1,0)^{\mathsf T}$ を代入すればよい。有限点だけの式を使って極限を取れば

(z_1,z_2;z_3,\infty)=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}

となるので、無限遠点を別の特別規則として暗記する必要はない。

実軸上の4点については、この定義は有向線分比の比と一致する。実際、既習の§A5.9 定義 2.1の向きを使えば

(A,B;X,Y) =\frac{\overline{AX}/\overline{XB}}{\overline{AY}/\overline{YB}}

である。符号を含む比を使う点は、チェバ・メネラウスの定理§A5.9 定理 5.2から複比へ進む自然な入口になっている。

定理 5.2 (メビウス変換による複比の保存). $f$ を $\Delta\ne0$ のメビウス変換とし、 $z_1,z_2,z_3,z_4$ を複比が定義できる4点とする。すると

(f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) =(z_1,z_2;z_3,z_4)

が成り立つ。点のうち $\infty$ が含まれる場合も、この同次座標の定義で同じ式が成り立つ。

証明. 各 $z_j$ の代表を列ベクトル $Z_j$ とし、 $W_j=MZ_j$ を $f(z_j)$ の代表とする。2つの列ベクトルに対する行列式の積の公式から

[W_i,W_j]=[MZ_i,MZ_j]=\det(M)[Z_i,Z_j]=\Delta[Z_i,Z_j]

を得る。よって定義を $W_j$ で書き直すと

\begin{aligned} (f(z_1),f(z_2);f(z_3),f(z_4)) &=\frac{[W_3,W_1][W_4,W_2]}{[W_3,W_2][W_4,W_1]}\\ &=\frac{(\Delta[Z_3,Z_1])(\Delta[Z_4,Z_2])} {(\Delta[Z_3,Z_2])(\Delta[Z_4,Z_1])}\\ &=\frac{[Z_3,Z_1][Z_4,Z_2]}{[Z_3,Z_2][Z_4,Z_1]}\\ &=(z_1,z_2;z_3,z_4). \end{aligned}

$\Delta\ne0$ なので、相異なる点は相異なる点へ移り、分母が $0$ でないという条件も保たれる。また $Z_j=(1,0)^{\mathsf T}$ を許しているため、 $z_j=\infty$ の場合を有限点の場合へ近づける極限として追加する必要はない。同次座標の計算そのものが無限遠点を含む完全な証明になっている。▨

複比保存は、メビウス変換が長さを保つという主張ではない。たとえば最初の図で $m=0$ 、 $r=1$ とすると、円 $\Gamma$ の半径は $1$ から $1/3$ へ変わり、中心も移る。それでも、同じ4点を変換したときの「4つの差の積の比」は変わらない。長さや角を個別に測る代わりに、変換で相殺される量を選んでいるのである。

6 複比が実数であることと四点共円

複比の値そのものは複素数だが、その値が実数になるかどうかは、4点の配置についての初等幾何の条件で言いかえることができる。

定理 6.1 (複比が実数であることと四点共円). 相異なる4つの有限な複素数 $z_1,z_2,z_3,z_4$ について、複比 $(z_1,z_2;z_3,z_4)$ が実数であることと、 4点が同一の円周上にあるか同一の直線上にあることは同値である。

証明. 4点が相異なるので、複比の分子と分母のどの因子も $0$ ではなく、 $(z_1,z_2;z_3,z_4)$ は $0$ でない複素数である。

(z_1,z_2;z_3,z_4) =\frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)} =\frac{(z_1-z_3)/(z_2-z_3)}{(z_1-z_4)/(z_2-z_4)}

であるから、 $2\pi$ を法として

\arg(z_1,z_2;z_3,z_4) =\arg\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}-\arg\frac{z_1-z_4}{z_2-z_4}

が成り立つ。複素数 $(z_1-z_3)/(z_2-z_3)$ の偏角は、半直線 $z_3z_2$ を半直線 $z_3z_1$ へ重ねる回転の角である。 $180°$ を法として見れば、これは直線 $z_3z_2$ と直線 $z_3z_1$ の向きをもつ角 $\angle(z_3z_2,z_3z_1)$ に等しい。 $z_4$ についても同様である。 $0$ でない複素数が実数であることと、その偏角が $\pi$ の整数倍であることは同値であり、 $\pi$ は $180°$ にあたる。したがって、複比が実数であることと

\angle(z_3z_2,z_3z_1)=\angle(z_4z_2,z_4z_1)\pmod{180°}

は同値である。向きをもつ角の規約は§C2.4 定義 3により、次に用いる四点共円の判定は§C2.4 補題 5による。

この角の等式が成り立つとする。 $\angle(z_3z_2,z_3z_1)=0$ の場合、直線 $z_3z_2$ と直線 $z_3z_1$ が一致するので $z_1,z_2,z_3$ は同一直線上にあり、 $\angle(z_4z_2,z_4z_1)=0$ から $z_1,z_2,z_4$ も同一直線上にある。 $z_1\ne z_2$ なので、この2つの直線はどちらも $z_1$ と $z_2$ を通る唯一の直線であり、4点は同一直線上にある。 $\angle(z_3z_2,z_3z_1)\ne0$ の場合、 $z_1,z_2,z_3$ も $z_1,z_2,z_4$ も同一直線上にないので、§C2.4 補題 5を二点 $z_2,z_1$ と、直線 $z_1z_2$ の上にない二点 $z_3,z_4$ へ適用すると、4点は同一円周上にある。

逆に4点が同一直線上にあれば、 $\angle(z_3z_2,z_3z_1)$ と $\angle(z_4z_2,z_4z_1)$ はどちらも $0$ である。 4点が同一円周上にあれば、円周上の3点は同一直線上にないので、 $z_3$ と $z_4$ は直線 $z_1z_2$ の上になく、§C2.4 補題 5により角の等式が成り立つ。いずれの場合も複比の偏角は $\pi$ の整数倍であり、複比は実数である。▨

注意 6.2 (無限遠点を含む場合と共円性の保存). 4点のうち1点が $\infty$ である場合も同じ形の主張が成り立つ。たとえば $z_4=\infty$ のとき、複比は $(z_3-z_1)/(z_3-z_2)$ であり、これが実数であることは、 $z_3-z_1$ が $z_3-z_2$ の実数倍であること、すなわち $z_1,z_2,z_3$ が同一直線上にあることと同値である。 $\infty$ が他の位置にある場合は、4点の順序を入れ替えると複比の値は逆数または $1$ から引いた値などへ変わるだけで、実数であるかどうかは変わらないので、 $z_4=\infty$ の場合へ帰着する。直線に $\infty$ を加えたものは一般化円だから、定理 6.1は「4点が同一の一般化円の上にある」という形へ拡張される。

この形と定理 5.2を合わせると、メビウス変換は4点が同一の一般化円上にあるかどうかを変えない。これは定理 3.5を4点に制限した内容であり、複比の保存という代数的な等式が、共円・共線という初等幾何の条件を保つ形で読めることを示している。

7 複素解析への接続

有限な正則点では

f'(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}

であり、 $\Delta\ne0$ なので $f'(z)\ne0$ 。したがってメビウス変換は極を除けば正則で、逆変換も正則である。複素解析の言葉では、局所的に正則な逆をもつ等角写像の最も基本的な例になっている。円と直線の対応は、複素平面上の曲線を保つ性質の幾何的な現れであり、複比保存は射影幾何から複素解析へ渡る代数的な不変量である。

ここで扱ったのは有理関数としての計算と、その幾何的意味である。一般の正則関数が円を円へ写すわけではないし、正則関数の大域的な性質や留数をこの事実だけから導くこともできない。メビウス変換が特別なのは、一次分数式であり、同次座標の可逆な2次行列として扱える点にある。

8 つまずいたら

$ad-bc=0$ を許さない。 この場合は分子と分母が同時に $0$ になる点が生じたり、写像が定数に潰れたりして、円円対応・複比保存の前提が壊れる。まず行列式を確認する。
極 $z=-d/c$ と $\infty$ を別々に忘れない。 $c\ne0$ なら極は $\infty$ へ、 $\infty$ は $a/c$ へ移る。円が直線に見えるのは、拡張複素平面から $\infty$ を隠した結果である。
「円は円」とだけ覚えない。 正確には一般化円が一般化円へ移る。極を通る普通の円は直線へ移り、直線は $\infty$ を含む一般化円である。
反転そのものをメビウス変換と呼ばない。 原点を中心とする半径 $1$ の反転 $\iota(z)=z/|z|^2$ は共役を含むので、 $(az+b)/(cz+d)$ の形には書くことができない。逆に、メビウス変換の側は補題 3.3と補題 3.4により、相似変換と、実軸に関する対称移動と、反転との合成として書くことができる。
角度保存を長さ保存と取り違えない。 $f'(z)$ は一般に絶対値 $1$ ではないので、拡大・縮小は起こる。 2本の接ベクトルに同じ複素数を掛けるため、角度の差だけが残る。
複比の順序を変えない。 $(z_1,z_2;z_3,z_4)$ の4点の順序を入れ替えると、値は一般に逆数や $1-$ 倍に変わる。既習の有向線分比と同じく、向きと符号を含む量として式をそのまま読む。
図を証明の代わりにしない。 図の点を動かした結果や、いくつかの数値で複比が一致した結果は観察である。円円対応は相似変換と反転への分解によって、また同次座標の二次形式の変換によって、複比保存は4つの行列式の相殺によって、すべての許された点について証明した。

§C2.11メビウス変換と複比の保存