§C2.8パスカルの定理とブリアンションの定理

証明. これは円錐曲線の標準形定理である。二次形式を実線形変換で対角化し、非退化性によって零でない符号の二つの群を残したあと、座標の取り替えと斉次座標の倍率調整を行うと (XZ-Y^2=0) の形になる。線形変換の行列式が非零なら、それは射影変換を定める。この標準形への帰着自体の対角化と符号分類は、座標幾何の「2次曲線」の標準形の議論に委ねる。ここで使う帰着の範囲は、実点をもつ非退化な円錐曲線に限る。(\square)▨

証明. まず補題 1.2により、(\mathcal C) を (\mathcal C_0

有限パラメータ (u) に対応する点を [ \mathrm{T}(u)=(u^2:u

直線の係数ベクトルの外積は、その二直線の交点を表す。したがって [ L(u,v)\cap L(w,x) =\bigl(uv(w+x)-wx(u+v):\ uv-wx:\ u+v-w-x\bigr). ] ここで右辺を (I(u,v;w,x)) と略記する。六点のパラメータを順に (a,b,c,d,e,f) とおけば、三つのパスカル点は [ \begin{aligned} \mathrm{P}&=I(a,b;d,e),\ \mathrm{Q}&=I(b,c;e,f),\ \mathrm{R}&=I(c,d;f,a) \end{aligned} ] である。三点が共線であることは、斉次座標の行列式が零であることと同値だから、次を計算すればよい。 [ \det\begin{pmatrix} ab(d+e)-de(a+b)&ab-de&a+b-d-e\ bc(e+f)-ef(b+c)&bc-ef&b+c-e-f\ cd(f+a)-fa(c+d)&cd-fa&c+d-f-a \end{pmatrix}=0. ] この行列式を第一列で展開し、第二列・第三列の積を並べると、各項は (a,b,c,d,e,f) の三つの積の積として現れ、巡回順序を逆にした同じ項と符号が反対になって消える。残る項も同じ組合せで対になって消えるので、行列式は恒等的に零である。よって有限パラメータの配置では (\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}) が共線である。

最後に無限遠点を含める。斉次パラメータ ((s

証明.$\mathcal C$は非退化なので、$\mathcal C$上の相異なる二点を通る直線は$\mathcal C$とその二点以外を共有しない。したがって、六点のうち相異なる二点を結ぶ直線は、結ぶ二点の組が異なれば相異なる直線であり、射影平面の相異なる二直線はただ一点を共有する。

(1)を示す。$\mathrm{P}$が$\mathcal C$上にあるとすると、$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AB}$と$\mathcal C$の共有点なので$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$であり、直線$\mathrm{DE}$と$\mathcal C$の共有点なので$\mathrm{D}$または$\mathrm{E}$であるが、六点は相異なるので両立しない。$\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T}$についても、定義に現れる二直線について同じ議論が成り立つ。

(2)を示す。$\mathrm{D},\mathrm{E}$は$\mathcal C$上にあり、$\mathrm{P},\mathrm{S}$は$\mathcal C$上にないので、$\mathrm{P},\mathrm{S}$は$\mathrm{D},\mathrm{E}$と異なる。$\mathrm{P}=\mathrm{S}$とすると、この点は相異なる二直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{FA}$の共有点なので$\mathrm{A}$に等しく、$\mathcal C$上にあることになって(1)に反する。同様に$\mathrm{Q}=\mathrm{T}$とすると、この点は相異なる二直線$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CD}$の共有点$\mathrm{C}$に等しく、(1)に反する。

(3)を示す。$\mathrm{A}$が直線$\mathrm{DE}$上にあるとすると、$\mathrm{A}$は直線$\mathrm{DE}$と$\mathcal C$の共有点なので$\mathrm{D}$または$\mathrm{E}$に等しく、六点が相異なることに反する。$\mathrm{C}$と直線$\mathrm{EF}$についても同じである。$\mathrm{R}$が直線$\mathrm{DE}$上にあるとすると、$\mathrm{R}$は相異なる二直線$\mathrm{CD}$と$\mathrm{DE}$の共有点$\mathrm{D}$に等しく、(1)に反する。$\mathrm{R}$が直線$\mathrm{EF}$上にあるとすると、$\mathrm{R}$は相異なる二直線$\mathrm{FA}$と$\mathrm{EF}$の共有点$\mathrm{F}$に等しく、同じく反する。

(4)を示す。$\mathrm{R}=\mathrm{P}$とすると、この点は相異なる二直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{FA}$の共有点$\mathrm{A}$に等しく、(1)に反する。▨

証明.補題 1.2により、$\mathcal C$を$\mathcal C_0: XZ-Y^2=0$へ移す射影変換$\varphi_1$が存在する。座標の取り替え

は行列式$4$の正則行列で表されるので射影変換$\varphi_2$を定め、$U^2+V^2-W^2=(X-Z)^2+4Y^2-(X+Z)^2=-4(XZ-Y^2)$であるから、$\varphi_2$は$\mathcal C_0$を$U^2+V^2-W^2=0$へ移す。以下ではこの新しい座標を改めて$(X:Y:Z)$と書き、この二次曲線を$\Gamma$とおく。また$\mathrm{Z}'_i=\varphi_2\varphi_1(\mathrm{Z}_i)$とおく。

次に、$\Gamma$を保つ射影変換を二種類用意する。第一に、原点のまわりの回転は、行列$\bigl(\begin{smallmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix}\bigr)$で表される射影変換であり、$X^2+Y^2-Z^2$を変えないので$\Gamma$を$\Gamma$自身へ移す。第二に、$k>1$に対して

とおく。$\det M_k=(k^2-1)\sqrt{k^2-1}\ne0$であり、$(X':Y':Z')=M_k(X:Y:Z)$について

が成り立つので、$M_k$が定める射影変換$\psi_k$は$\Gamma$を$\Gamma$自身へ移す。さらに、直線$X-kZ=0$（アフィン部分では$x=k$）の点は$Z'=kZ-X=0$を満たすので、$\psi_k$はこの直線を無限遠直線へ移す。

直線$\ell$を次のように選ぶ。$\mathrm{Z}'_1,\ldots,\mathrm{Z}'_n$のうち無限遠点であるものは有限個なので、方向$(-\sin\theta,\cos\theta)$がそれらのどの方向とも一致しないように角$\theta$をとる。直線$x\cos\theta+y\sin\theta=k$（$k>1$）の無限遠点は方向$(-\sin\theta,\cos\theta)$の無限遠点なので、この形の直線は無限遠点である$\mathrm{Z}'_i$を通らない。有限点である$\mathrm{Z}'_i$を通るこの形の直線は、$k$の値がただ一つに定まる。したがって$k>1$を有限個の値を避けてとれば、直線$\ell: x\cos\theta+y\sin\theta=k$は$\mathrm{Z}'_1,\ldots,\mathrm{Z}'_n$のいずれも通らない。原点のまわりの角$-\theta$の回転$\rho$は$\ell$を直線$x=k$へ移す。

$\varphi=\psi_k\circ\rho\circ\varphi_2\circ\varphi_1$とおく。$\varphi$は射影変換の合成なので射影変換であり、$\mathcal C$を$\Gamma$へ移す。$\psi_k\circ\rho$は$\ell$を無限遠直線へ移し、射影変換は全単射で直線を直線へ移すので、$\ell$上にない点を無限遠直線上にない点、すなわち有限点へ移す。$\mathrm{Z}'_i$は$\ell$上にないので、$\varphi(\mathrm{Z}_i)=\psi_k\rho(\mathrm{Z}'_i)$は有限点である。▨

証明.$\mathrm{U}_1,\ldots,\mathrm{U}_4$は相異なり、直線と円の共有点は高々二つなので、四直線$\mathrm{XU}_1,\ldots,\mathrm{XU}_4$は相異なる。$t$は$\mathrm{X}$を通らないから、$\mathrm{X}$を通る相異なる二直線が$t$と共有する点は相異なり、$\mathrm{Y}_1,\ldots,\mathrm{Y}_4$は相異なる。$\mathrm{Y}'_1,\ldots,\mathrm{Y}'_4$についても同じである。$\mathrm{X}=\mathrm{X}'$のときは、$t=t'$なら$\mathrm{Y}_i=\mathrm{Y}'_i$であり、$t\ne t'$なら$\mathrm{X}$を中心とする$t$から$t'$への射影が$\mathrm{Y}_i$を$\mathrm{Y}'_i$へ移すので、§A5.14 定理 2により等式が成り立つ。以下$\mathrm{X}\ne\mathrm{X}'$とする。

二直線$\ell,m$の向きをもつ角$\angle(\ell,m)$を、§C2.1 定義 2のとおり$180°$を法として定める。$i=2,3,4$に対し、$\mathrm{X},\mathrm{U}_1,\mathrm{U}_i,\mathrm{X}'$は同一円周上の相異なる四点であり、円周上の相異なる三点は一直線上にないから、§C2.1 注意 3の共円条件により

が成り立つ。

$\mathrm{X}$を$\mathrm{X}'$へ移す平行移動は直線$\mathrm{XU}_1$を$\mathrm{X}'$を通る直線へ移し、$\mathrm{X}'$を中心とする適当な回転はその直線を直線$\mathrm{X}'\mathrm{U}_1$へ移す。この平行移動と回転の合成を$g$とする。平行移動は各直線を平行な直線へ移し、平行な二直線は任意の直線と同じ向きをもつ角をなすので、平行移動は向きをもつ角を保つ。回転も向きをもつ角を保つ（§C2.1 注意 3）から、$g$は向きをもつ角を保つ。したがって$i=2,3,4$に対し

である。$\angle(m,\ell)=-\angle(\ell,m)$により両辺の符号を反転すると

であり、$g(\mathrm{XU}_i)$と$\mathrm{X}'\mathrm{U}_i$はともに$\mathrm{X}'$を通るので、§C2.1 注意 3により$g(\mathrm{XU}_i)=\mathrm{X}'\mathrm{U}_i$である。$i=1$については$g$の定め方から同じ等式が成り立つ。

$g$は合同変換なので、直線$t$を直線$g(t)$へ移し、$\mathrm{Y}_i$を点$g(\mathrm{Y}_i)=g(t)\cap\mathrm{X}'\mathrm{U}_i$へ移す。合同変換は同一直線上の二点の距離と、点が二点の間にあるかどうかを保つので、有向線分比を保ち、したがって複比を保つ。ゆえに

である。$g(t)=t'$なら$g(\mathrm{Y}_i)=\mathrm{Y}'_i$であり、これが求める等式である。$g(t)\ne t'$のとき、$\mathrm{X}\notin t$かつ$g(\mathrm{X})=\mathrm{X}'$なので$\mathrm{X}'$は$g(t)$上になく、仮定により$t'$上にもない。$g(\mathrm{Y}_i)\ne\mathrm{X}'$なので、直線$\mathrm{X}'g(\mathrm{Y}_i)$は直線$\mathrm{X}'\mathrm{U}_i$であり、$t'$と有限な点$\mathrm{Y}'_i$で交わる。したがって§A5.14 定理 2により

であり、二つの等式を合わせて主張を得る。▨

証明.$l=\mathrm{DE}$、$m=\mathrm{EF}$とおく。$\mathrm{D}\ne\mathrm{F}$であり、直線と円の共有点は高々二つなので$l\ne m$であり、$l$と$m$の共有点は$\mathrm{E}$だけである。補題 5.1により、$l$上の四点$\mathrm{P},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{S}$は相異なり、$m$上の四点$\mathrm{Q},\mathrm{T},\mathrm{E},\mathrm{F}$は相異なり、$\mathrm{A}$は$l$上になく、$\mathrm{C}$は$m$上になく、$\mathrm{R}$は$l$上にも$m$上にもない。

四直線$\mathrm{AB},\mathrm{AD},\mathrm{AE},\mathrm{AF}$は$l$とそれぞれ$\mathrm{P},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{S}$で交わり、四直線$\mathrm{CB},\mathrm{CD},\mathrm{CE},\mathrm{CF}$は$m$とそれぞれ$\mathrm{Q},\mathrm{T},\mathrm{E},\mathrm{F}$で交わる。これらはいずれも有限点である。$\mathrm{A},\mathrm{C}$は$\Gamma$の周上の、$\mathrm{B},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$と異なる点なので、補題 7.1を$\mathrm{U}_1=\mathrm{B},\mathrm{U}_2=\mathrm{D},\mathrm{U}_3=\mathrm{E},\mathrm{U}_4=\mathrm{F}$、$\mathrm{X}=\mathrm{A}$、$t=l$、$\mathrm{X}'=\mathrm{C}$、$t'=m$に適用して

を得る。

$\mathrm{R}$を中心として$l$上の点を$m$へ射影する。$\mathrm{R}$は$l$上にないので$\mathrm{R}\ne\mathrm{D}$、$\mathrm{R}\ne\mathrm{S}$であり、直線$\mathrm{RD}$は直線$\mathrm{CD}$なので$m$と$\mathrm{T}$で交わり、直線$\mathrm{RS}$は直線$\mathrm{FA}$なので$m$と$\mathrm{F}$で交わり、直線$\mathrm{RE}$は$m$と$\mathrm{E}$で交わり、直線$\mathrm{RP}$は$m$と有限な点$\mathrm{V}$で交わる。$\mathrm{R}$は$l$上にも$m$上にもないので、§A5.14 定理 2により$\mathrm{V},\mathrm{T},\mathrm{E},\mathrm{F}$は相異なり、

である。先の等式と合わせて$(\mathrm{V},\mathrm{T};\mathrm{E},\mathrm{F})=(\mathrm{Q},\mathrm{T};\mathrm{E},\mathrm{F})$を得る。

$m$に座標を入れ、$\mathrm{V},\mathrm{Q},\mathrm{T},\mathrm{E},\mathrm{F}$の座標を$v,q,\tau,e,f$とする。複比の座標表示（§A5.14 定義 1）により、この等式は

である。$f\ne\tau$、$e\ne\tau$なので両辺を$(f-\tau)/(e-\tau)$で割ることができ、分母を払って$(e-v)(f-q)=(e-q)(f-v)$を得る。両辺を展開して整理すると$(e-f)(v-q)=0$であり、$e\ne f$なので$v=q$、すなわち$\mathrm{V}=\mathrm{Q}$である。$\mathrm{V}$は直線$\mathrm{RP}$上にあるから、$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$は一直線上にある。▨

証明.$\mathcal C$上の相異なる六点$\mathrm{A},\ldots,\mathrm{F}$に対し、$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T}$を補題 5.1のとおり定める。同補題により$\mathrm{R}\ne\mathrm{P}$であり$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{EF}$上にないので、直線$\mathrm{RP}$と直線$\mathrm{EF}$の交点$\mathrm{V}$が射影平面の点として定まる。補題 6.1を$\mathcal C$と六点$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T},\mathrm{V}$に適用し、$\mathcal C$を単位円$\Gamma$へ移し、この六点を有限点へ移す射影変換$\varphi$をとる。

$\varphi$は全単射で、直線を直線へ移し、点が直線上にあることを保つ。したがって$\varphi(\mathrm{A}),\ldots,\varphi(\mathrm{F})$は$\Gamma$の周上の相異なる六点であり、直線$\mathrm{AB}$の像は直線$\varphi(\mathrm{A})\varphi(\mathrm{B})$であって、二直線の共有点の像は像の二直線の共有点である。ゆえに$\varphi(\mathrm{P})=\varphi(\mathrm{A})\varphi(\mathrm{B})\cap\varphi(\mathrm{D})\varphi(\mathrm{E})$であり、$\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T},\mathrm{V}$についても同じ形の等式が成り立つ。すなわち$\varphi(\mathrm{P}),\varphi(\mathrm{Q}),\varphi(\mathrm{R}),\varphi(\mathrm{S}),\varphi(\mathrm{T}),\varphi(\mathrm{V})$は、$\Gamma$上の六点$\varphi(\mathrm{A}),\ldots,\varphi(\mathrm{F})$に対する定理 8.1の$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T},\mathrm{V}$であり、いずれも有限点である。同定理により$\varphi(\mathrm{P}),\varphi(\mathrm{Q}),\varphi(\mathrm{R})$は一直線上にある。$\varphi^{-1}$も射影変換であり共線性を保つので、$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$は共線である。▨

証明. 射影平面での共線性をアフィン部分へ制限すると、有限点 (\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}) は通常の直線上にある。交点が無限遠点の場合は、対応する二直線が同じ方向をもつことを意味するので、アフィン図でその交点を省略してはならない。(\blacksquare)▨

証明. (M) の正則性から二つの対応は定義でき、代表元を非零定数倍すれば像も同じ定数倍になる。合成はそれぞれ (M^{-1}M\boldsymbol p=\boldsymbol p)、 (MM^{-1}\boldsymbol \ell=\boldsymbol \ell) である。さらに (M) は対称なので、右辺は (\boldsymbol p^{\mathsf T}M^{\mathsf T}M^{-1}\boldsymbol \ell =\boldsymbol p^{\mathsf T}\boldsymbol \ell) となり、左辺と同値である。(\blacksquare)▨

証明. 各接線 (\mathrm{t}_i) を双対平面の点 (\mathrm{T}_i) とする。接線が (\mathcal C) に接しているので、(\mathrm{T}_1,\ldots,\mathrm{T}_6) は双対円錐曲線上の相異なる六点である。双対平面でパスカルの定理を適用すると、次の三点は共線である。 [ \begin{aligned} \mathrm{X}_1&=(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2)\cap(\mathrm{T}_4\mathrm{T}_5),\ \mathrm{X}_2&=(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_3)\cap(\mathrm{T}_5\mathrm{T}_6),\ \mathrm{X}_3&=(\mathrm{T}_3\mathrm{T}_4)\cap(\mathrm{T}_6\mathrm{T}_1). \end{aligned} ]

双対の定義から、(\mathrm{T}i\mathrm{T}{i+1}) に対応する元の点は (\mathrm{t}i\cap\mathrm{t}{i+1}=\mathrm{V}_i) である。したがって、(\mathrm{X}_1,\mathrm{X}_2,\mathrm{X}_3) に対応する元の直線は順に [ \mathrm{V}_1\mathrm{V}_4,\qquad \mathrm{V}_2\mathrm{V}_5,\qquad \mathrm{V}_3\mathrm{V}_6 ] となる。双対平面で三点が同一直線上にあることは、元の平面で対応する三直線が同一の点を通ることと同値である。仮定 (\mathrm{V}i\ne\mathrm{V}{i+3}) は、これらの結ぶ直線が退化していないことを保証する。よって三直線は共点である。(\square)▨

証明. ブリアンションの定理をアフィン部分に制限するだけである。射影的な共点が有限なら通常の共点になり、無限遠なら三直線が同じ方向をもつ。(\blacksquare)▨