§A2.13複素数平面

1 極形式：大きさと偏角で表す

零でない複素数$z\ne0$を、原点からの距離$r = |z|>0$と、実軸から測った角$\theta = \arg z$で表したものが極形式です。$z=0$には偏角が定まらないので、極形式の議論から除外します。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

これは極座標そのもので、三角関数を前提とします。下の図で$r, \theta$を動かしてください。$|z|$が大きさ、$\arg z$が偏角です。

2 掛け算は回転と拡大

2つの複素数を極形式で掛けると、$z_1 z_2 = r_1 r_2\bigl(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\bigr)$となります（$\theta_1,\theta_2$はラジアンで測る）。実際に展開して$i^2 = -1$を使うと、括弧内が加法定理でちょうど$\cos(\theta_1 + \theta_2)$,$\sin(\theta_1 + \theta_2)$にまとまるからです。つまり掛け算は「大きさの積・偏角の和」。とくに$i$（$r = 1, \theta = \pi/2$）を掛けると大きさそのままで$\pi/2$回転。複素数の掛け算＝回転と拡大、という見方が図形問題を一変させます。

3 ド・モアブルの定理と n 乗根

この積の規則を$n$回繰り返すと、ド・モアブルの定理が得られます。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \ \Rightarrow\ z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \quad(n \text{ は正の整数})$偏角がそのまま$n$倍になる、という強力な公式です。これを使うと $1$の$n$乗根、すなわち$z^n = 1$の解が求まります。答えは$z_k = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n} \quad(n\in\mathbb N_{>0},\ k = 0, 1, \dots, n-1)$の$n$個で、単位円周上に$\frac{2\pi}{n}$ずつ等間隔に並びます（$z^n = 1$なら$|z| = 1$で偏角は$n\theta = 2\pi k$、余りで区別して$n$個）。