§A2.5点と直線

1 覚える公式は3つの型に分かれる

$\mathrm{A}(x_1, y_1)$,$\mathrm{B}(x_2, y_2)$とします。

1. 距離（三平方の定理そのもの）$\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
2. 内分・外分点。$m,n>0$とし、線分 AB を$m : n$、すなわち$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=m:n$に内分する点は$\left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right)$外分は有向比を使い、$n\to-n$と置き換える。ただし分母が$m-n$になるので$m\ne n$が必要です。中点は$m=n=1$の内分で、上の M です。
3. 直線の方程式。傾き$m$で点$(x_1, y_1)$を通るなら$y - y_1 = m(x - x_1)$2点を通る直線が鉛直でない、すなわち$x_1\ne x_2$のときは傾き$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$です。$x_1=x_2$なら直線は$x=x_1$と書きます。

2 平行と垂直

両方の直線の傾きが定義されるとき、傾きを$m_1, m_2$とすると、

• 平行$\iff m_1 = m_2$
• 垂直$\iff m_1 m_2 = -1$

垂直条件は「傾きの積が$-1$」と丸暗記して構いませんが、これは直線を$90^\circ$回すと傾きが逆数の符号違いになる、という事実です。垂直線は傾きを持たないため、この公式の例外です。垂直線どうしは平行で、垂直線と水平線は垂直です。

傾きを使わないなら、直線$a_i x+b_i y+c_i=0$（$i=1,2$）について、法線ベクトル$(a_i,b_i)$を使って、平行は$(a_1,b_1)$と$(a_2,b_2)$が比例すること、垂直は$a_1a_2+b_1b_2=0$と判定できます。こちらは鉛直線も含みます。