§A1.10整式の除法・剰余の定理・因数定理

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ここでは、実数を係数とする整式を扱います。（整数係数や有理数係数だけを考える場面では、その範囲をその都度明示します。）

整式の除法とは、整式AAを零でない整式BBで割り、

A=B Q+R(R=0 であるか、R の次数が B の次数より小さい)A = B\,Q + R \qquad (R=0\ \text{であるか、}R\ \text{の次数が}\ B\ \text{の次数より小さい})

を満たす商QQと余りRRを求めることです。 数の割り算とまったく同じ構造で、余りの次数が割る式より小さくなったら終わりです。このQ,RQ, Rはただ一通りに決まります。

1 剰余の定理：代入で余りが分かる

1次式x−ax - a（aaは実数）で割ったときの余りは定数です（次数が11未満だから）。この余りは、実はAAにx=ax = aを代入した値に等しくなります。

A(x)=(x−a) Q(x)+R で x=a とすると A(a)=RA(x) = (x - a)\,Q(x) + R \ \text{で } x = a \text{ とすると } A(a) = R

これが剰余の定理：A(x)A(x)をx−ax - aで割った余りはA(a)A(a)。割り算を実行せずに、代入1回で余りが求まります。

2 因数定理：割り切れる条件

剰余の定理で余りA(a)A(a)が00になるのは、x−ax - aで割り切れるとき、すなわちx−ax - aがA(x)A(x)の因数であるときです。

A(a)=0  ⟺  (x−a) は A(x) の因数A(a) = 0 \iff (x - a) \text{ は } A(x) \text{ の因数}

これが因数定理。高次式の因数分解は、これを使って因数を1つ見つける（A(a)=0A(a)=0となるaaを、定数項の約数から探す）→ 割り算で次数を下げる、を繰り返すのが定石です。

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

次の整式 P(x)P(x) を、与えられた1次式で割った商と余りを求めよ。

割った商と余りを求めよ。

解法の型筆算（組立除法）。検算は剰余の定理 P(a)=余りP(a)=\text{余り}

  1. 例題 1

    P(x)=x3−x2−8x+9 を x+3 で割るP(x) = x^{3}-x^{2}-8x+9\ \text{を}\ x+3\ \text{で割る}

  2. 例題 2

    P(x)=x3−2x2+2x+7 を x+1 で割るP(x) = x^{3}-2x^{2}+2x+7\ \text{を}\ x+1\ \text{で割る}

  3. 例題 3

    P(x)=x3−4x2+7x−10 を x−2 で割るP(x) = x^{3}-4x^{2}+7x-10\ \text{を}\ x-2\ \text{で割る}

  4. 例題 4

    P(x)=x3−x2+2x+1 を x−1 で割るP(x) = x^{3}-x^{2}+2x+1\ \text{を}\ x-1\ \text{で割る}

  5. 例題 5

    P(x)=x3−3x2+6x−7 を x−1 で割るP(x) = x^{3}-3x^{2}+6x-7\ \text{を}\ x-1\ \text{で割る}

  6. 例題 6

    P(x)=x3−x2+3x+4 を x+1 で割るP(x) = x^{3}-x^{2}+3x+4\ \text{を}\ x+1\ \text{で割る}

  7. 例題 7

    P(x)=x3−6x2+12x−7 を x−3 で割るP(x) = x^{3}-6x^{2}+12x-7\ \text{を}\ x-3\ \text{で割る}

  8. 例題 8

    P(x)=x3+3x2+3x+7 を x+3 で割るP(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+7\ \text{を}\ x+3\ \text{で割る}

  9. 例題 9

    P(x)=x3+4x2+7x+15 を x+3 で割るP(x) = x^{3}+4x^{2}+7x+15\ \text{を}\ x+3\ \text{で割る}

  10. 例題 10

    P(x)=x3+x2−11x−11 を x+3 で割るP(x) = x^{3}+x^{2}-11x-11\ \text{を}\ x+3\ \text{で割る}

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

次の整式 P(x)P(x) を、与えられた1次式で割った商と余りを求めよ。

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