不等式の基本操作 | 数と式の計算

§A1.7不等式の基本操作

最終更新 2026-07-26

不等式とは、実数を変数とする2つの式の大小関係を表した式のことです。 解くとは、その関係を成り立たせる文字の値の範囲を求めることです。等式とほとんど同じように変形できますが、 1つだけ決定的に違う規則があります。

1 負の数を掛ける・割ると、向きが変わる

$-2x < 6 \;\Rightarrow\; x > -3 \quad(\text{両辺を } -2 \text{ で割ったので向きが反転})$

この符号での反転を忘れることが、一次不等式で最も多いミスです。「負で割ったらひっくり返す」と手を動かすたびに唱えるくらいでちょうどよいです。

$|x|$ は「原点からの距離」でした。だから絶対値の不等式は、距離の言葉に翻訳できます。以下ではまず $a>0$ とします。

$|x| < a \iff -a < x < a, \qquad |x| > a \iff x < -a \ \text{または}\ x > a$

一般に $a>0$ なら $|x - c| < a$ は「 $c$ から距離 $a$ 未満」、つまり $c - a < x < c + a$ です。中心 $c$ 、半径 $a$ （幅は $2a$ ）の区間、と絵で捉えると場合分けを暗記せずに済みます。

$|x - 3| \le 2 \iff 1 \le x \le 5$

複数の不等式を同時に満たす範囲は、それぞれの解の共通部分です。数直線にそれぞれの範囲を描いて、重なったところを読み取るのが確実です。

負の数での掛け算・割り算での向きの反転。文字の係数が負のときも同じです（ $-x < 5$ なら $x > -5$ ）。
$|x| < a$ と $|x| > a$ で、答えが「 $\text{かつ}$ （区間）」になるか「 $\text{または}$ （2つに分かれる）」になるかが逆になります。距離のイメージ（近い＝間、遠い＝外側）で確認してください。
$a < 0$ のとき $|x| < a$ は解なし（距離が負になることはない）。右辺の符号を最初に見る癖をつけると事故が減ります。
$a=0$ のときも $|x|<0$ は解なし、 $|x|\le0$ は $x=0$ 、 $|x|>0$ は $x\ne0$ です。右辺が正の場合の区間公式をそのまま使わないこと。

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

x を実数とする。次の一次不等式を解け。

解法の型負の数で割るときは不等号の向きが反転する

x を実数とする。次の絶対値不等式を解け。

解法の型|x − a| は「a からの距離」。< は近い側、> は遠い側