§A1.12二項定理

最終更新 2026-07-26

二項定理とは、 $n$ を非負整数、 $a,b$ を実数として、 $(a+b)^n$ を展開したときの各項の係数を、組合せの数で与える公式のことです。

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k} = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{n}b^n

ここで $n\in\mathbb Z_{\ge0}$ 、 $0\le k\le n$ 、 $\dbinom{n}{k} = {}_nC_k$ は組合せの数です。だから二項定理を使うには、順列・組合せの数え上げが前提になります。

1 なぜ係数が組合せなのか

$(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n \text{ 個}}$ を展開するとは、各カッコから $a$ か $b$ を1つずつ選んで掛ける、そのすべての選び方を足すことです。 $b$ をちょうど $k$ 回選ぶ選び方は「 $n$ 個のカッコから $b$ を取る $k$ 個を選ぶ」場合の数、すなわち $\dbinom{n}{k}$ 通り。だから $a^{n-k}b^k$ の係数が $\dbinom{n}{k}$ になります。組合せがそのまま係数になる理由が、数え上げから見えます。

2 一般項とパスカルの三角形

展開の第 $(k+1)$ 項（一般項）は $\dbinom{n}{k} a^{n-k} b^k$ 。「 $x^r$ の係数を求めよ」という問いは、この一般項で次数が $r$ になる $k$ を決めて代入するだけです。

係数 $\dbinom{n}{k}$ を三角形に並べると、各数が上の2数の和になるパスカルの三角形が現れます。これは $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}$ という関係（ $b$ を選ぶか選ばないかで場合分け）の図示です。

閑話休題：パスカルの三角形に隠れたフラクタル パスカルの三角形の数を、奇数なら黒、偶数なら白に塗り分けてみてください。数百段も描くと、驚くべき模様が浮かび上がります——大きな三角形の中に白い逆三角形が抜け、残った3つの三角形の中にまた白い逆三角形が抜け……と無限に自己相似が続く、シェルピンスキーのギャスケットと呼ばれるフラクタル図形です。「上の2数の和」という単純極まりない規則から、なぜこんな構造が出るのか。鍵は $\binom{n}{k}$ の偶奇が、 $n$ と $k$ を2進法で書いたときの繰り上がりで決まることにあります（ $k$ の各桁が $n$ の対応する桁を超えなければ奇数。一般の素数 $p$ で割った余りについても同様の法則——リュカの定理——が成り立ちます）。整数の足し算・掛け算の世界に、幾何学の自己相似が埋まっているのです。

ちなみにこの三角形は、名前の由来であるパスカルとフェルマーの往復書簡（17世紀）との関連でよく紹介されます。この書簡を確率論の重要な契機の一つとみなす説明があります。二項係数が確率の計算に顔を出す（二項分布）のは、生まれたときからの縁です。

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

二項定理を用いて、次の展開における指定された項の係数、または和の値を求めよ。

解法の型一般項 nCk a^(n-k) $b^k$ の次数が指定の次数と一致する k を求め、係数部分を計算する

(x + 3/x)^6 の展開式における定数項を求めよ。
$\left(x + \dfrac{3}{x}\right)^{6} \quad \text{の定数項}$
(x² - 1/x)^4 の展開式における $x^5$ の係数を求めよ。
$\left(x^{2} - \dfrac{1}{x}\right)^{4} \quad \text{における } x^{5} \text{ の係数}$
(3x + 3y)^4 の展開式における $x^2$ $y^2$ の係数を求めよ。
$(3x + 3y)^{4} \quad \text{における } x^{2} y^{2} \text{ の係数}$
n $=$ 7 のとき、符号を交互につけた和 7C0 - 7C1 + 7C2 - … + (-1)^7 × 7C7 の値を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=0}^{7} (-1)^{k} \binom{7}{k}$
(3x - y)^6 の展開式における $x^5$ y の係数を求めよ。
$(3x - y)^{6} \quad \text{における } x^{5} y \text{ の係数}$
(x + 2y)^5 の展開式における $x^3$ $y^2$ の係数を求めよ。
$(x + 2y)^{5} \quad \text{における } x^{3} y^{2} \text{ の係数}$
n $=$ 7 のとき、和 7C0 + 2 × 7C1 + 2² × 7C2 + … + 2^7 × 7C7 の値を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=0}^{7} 2^{k} \binom{7}{k}$
n $=$ 5 のとき、二項係数の総和 5C0 + 5C1 + … + 5C5 の値を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k}$
n $=$ 8 のとき、符号を交互につけた和 8C0 - 8C1 + 8C2 - … + (-1)^8 × 8C8 の値を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=0}^{8} (-1)^{k} \binom{8}{k}$
(2x - 3y)^4 の展開式における x $y^3$ の係数を求めよ。
$(2x - 3y)^{4} \quad \text{における } x y^{3} \text{ の係数}$

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

二項定理を用いて、次の展開における指定された項の係数、または和の値を求めよ。

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