対称性・巡回性を使った因数分解 | 数と式の計算

1 3種類の対称性

多項式 $F(a,b,c)$ について、次を区別します。

対称式：変数の任意の置換で変わらない。
巡回式： $(a,b,c)\mapsto(b,c,a)\mapsto(c,a,b)$ で変わらない。
交代式：2変数を交換すると符号が反転する。

対称式と巡回式は同じではありません。例えば $a^2b+b^2c+c^2a$ は巡回式ですが、 $a,b$ の交換では一般に変わりません。

2 退化条件から因子を得る

実数を係数とする多項式 $F(a,b,c)$ が

$F(a,a,c)\equiv0$

を満たすとします。 $F$ を $b$ についての多項式と見て、その係数を $a,c$ の式と考えれば、 $b=a$ を代入した剰余が0です。したがって因数定理より

$b-a\mid F(a,b,c)$

です。符号を無視すれば $a-b$ が因子だと言っても同じです。

ここで「いくつかの数値を代入したら0になった」だけでは因数定理を使えません。 $F(a,a,c)$ が、 $a,c$ のすべての値について恒等的に0であることが必要です。また、これは不定元としての多項式の主張であり、特定の点での関数値だけの主張とは区別します。

3 巡回性で因子を増やす

さらに $F$ が巡回不変で、 $F(a,a,c)\equiv0$ なら、同じ議論を巡回置換した結果として

$a-b\mid F,\qquad b-c\mid F,\qquad c-a\mid F$

が得られます。 $a-b$ 、 $b-c$ 、 $c-a$ はどれも1次式で、定数倍の違いを除いても互いに異なります。したがって、どの2つも定数以外の共通因数を持ちません。よって

$(a-b)(b-c)(c-a)\mid F(a,b,c)$

と結論できます。

「それぞれで割り切れるから、積でも割り切れる」は無条件には言えません。3つの因子が定数以外の共通因数を持たないことを確認して初めて使えます。例えば $a-b$ と $2(a-b)$ のように定数倍だけ違う2式なら、両方で割り切れても積で割り切れるとは限りません。

4 例1：交代式の基本形

$F=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

を因数分解します。これは巡回式です。 $a=b$ とおくと

$a^2(a-c)+a^2(c-a)+c^2(a-a)=0,$

なので $a-b$ が因子です。巡回性から残り2因子も得られ、3次式であることから商は定数です。 $a=1,b=2,c=3$ を代入すると $F=-2$ 、一方 $(a-b)(b-c)(c-a)=2$ なので

$F=-(a-b)(b-c)(c-a).$

数値代入は定数を決めるために使い、因子の存在そのものは恒等性と因数定理で証明しています。

5 例2：商の対称性まで調べる

$G=\sum_{\mathrm{cyc}}a^3(b-c)=a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$

を考えます。これは4次の巡回式で、同じく3因子をもつため、商は1次式です。 $a=b$ などを代入する議論の後、 $c=0$ として

$G|_{c=0}=a^3b-ab^3=ab(a-b)(a+b)$

を計算すると、商は $-(a+b+c)$ であると予想できます。実際に展開すれば

$G=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).$

まず因子を構造から取り出し、最後に次数と対称性で商を絞ると、全展開より見通しがよくなります。

6 例3：不等式へ戻す

実数 $a,b,c$ に対し

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

を証明します。差を取ると

$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0.$

ここでは因数分解というより、交換に対して対称な差を、差の平方の和へ変換しています。対称性を見ると、等号条件 $a=b=c$ も自然に見えます。

7 標準手順

式がどの置換で不変かを確認する。
$a=b$ 、 $b=c$ などの退化条件を代入する。
恒等的に0になることを示す。
因数定理を適用する変数と、係数として認める数の範囲を明示する。
対称性・巡回性で他の因子を得る。
次数、商の対称性、数値代入で残りの商を決める。
必要なら元の式へ展開して検算する。

8 演習

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ の因数分解を、展開を使わずに示せ。
$\sum_{\mathrm{cyc}}a^4(b-c)$ が $(a-b)(b-c)(c-a)$ で割り切れることを示し、商を求めよ。
巡回式 $F(a,b,c)$ が $F(a,a,c)\equiv0$ を満たすとき、 $F$ が3因子の積 $(a-b)(b-c)(c-a)$ で割り切れる理由を、3つの因子が定数以外の共通因数を持たないことに触れて説明せよ。
$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ の等号条件を、平方和の分解から求めよ。

競技問題では、最初から展開計算を始めず、「どの文字を等しくすると消えるか」「どの置換で同じ形が現れるか」を先に調べます。

§A1.16対称性・巡回性を使った因数分解