競技数学：不等式 | 数と式の計算

1 方針を選ぶ順序

問題を読んだ直後に確かめる項目を、確かめる順に並べます。

各変数の範囲を読みます。正の実数か非負の実数かによって、使うことができる道具と等号条件が変わります。
同次式かどうかを調べます。同次式であれば、 $a+b+c=1$ のような条件を課して変数を減らすことができます。
等号が成り立つ点を予想します。 $a=b=c$ で等号が成り立つなら、対称な評価を優先します。 1つの変数だけが極端な値になる点で等号が成り立つなら、並べ替えや端点での評価を疑います。
式の形から道具を選びます。次の対応が目安になります。

式の形	選ぶ道具
左辺と右辺の差が対称な2次式	差の平方の和へ分解する
分母が正である分数の和	分子を平方にして、分数の形のコーシー・シュワルツの不等式を当てる
3次の対称式で、境界（1つの変数が $0$ ）でも等号が起こりうる	シュールの不等式を疑う
変数に大小の順序を仮定してよい対称式	大小を仮定したうえで差を因数分解する

評価を何段つなぐかを決めます。二段階以上つなぐ場合は、各段階の等号条件が同時に成り立つかどうかを、結論を書く前に確かめます。

不等式を一方向へ変形するときは、どの条件を使ったかを書きます。負の量を掛ける、分母の符号を確かめずに払う、平方根を同値性の確認なしに外す、といった操作は不等号の向きを保ちません。

2 平方和へ分解する

正の実数 $a,b,c$ に対して

a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge ab+bc+ca

を示します。差を2倍すると

2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\right)=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\ge0

となります。左辺が $0$ になるには3つの平方がすべて $0$ になる必要があるので、等号が成り立つ条件は $a=b=c$ です。なお、この変形では $a,b,c$ の符号を使っていないので、主張は実数 $a,b,c$ に対してそのまま成り立ちます。

差が対称な2次式である場合、この分解が最初に試す手です。証明の途中で等号が成り立つ条件まで確定させておくと、次の例のように複数の評価をつなぐときに役立ちます。

3 分数の形のコーシー・シュワルツで評価をつなぐ

正の実数 $a,b,c$ に対して

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32

を示します。分母を通分して展開する方法もありますが、ここでは分子を平方にして分数の形のコーシー・シュワルツの不等式を当て、評価を二段階に分けます。

第1段（分数の形を当てる）。各項の分子と分母に同じ文字を掛けて分子を平方にすると

\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a}{b+c}=\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^{2}}{a(b+c)}\ \ge\ \frac{(a+b+c)^{2}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}

となります。分母の $a(b+c)$ などはすべて正なので、分数の形を適用する条件を満たします。この段階の等号は $\dfrac{a}{a(b+c)}=\dfrac{b}{b(c+a)}=\dfrac{c}{c(a+b)}$ 、すなわち $b+c=c+a=a+b$ 、すなわち $a=b=c$ のときに限って成り立ちます。

第2段（平方和の結果を使う）。前の例で示した $a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge ab+bc+ca$ の両辺に $2(ab+bc+ca)$ を加えると $(a+b+c)^{2}\ge3(ab+bc+ca)$ が得られます。 $ab+bc+ca>0$ なので両辺をこの正の数で割ることができ、

\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\ \ge\ \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac32

となります。この段階の等号も $a=b=c$ のときに限って成り立ちます。

二段の接続。二つの評価の等号条件はどちらも $a=b=c$ であり、同時に成り立ちます。したがって、もとの不等式の等号は $a=b=c$ のときに限って成り立ちます。片方の等号条件だけを見て結論を出さないことが、この型の問題での要点です。

4 同次式は正規化してよい

多項式 $F(a,b,c)$ が $d$ 次の同次式であるとは、すべての正の実数 $t$ について $F(ta,tb,tc)=t^{d}F(a,b,c)$ が成り立つことをいいます。示したい不等式 $F\ge G$ の両辺が同じ次数 $d$ の同次式であれば、変数をすべて $t$ 倍したときに両辺はともに $t^{d}$ 倍になるので、不等式の成否は変わりません。したがって、 $a+b+c=1$ のような条件を一つ課して考えてよいことになります。

逆に、条件つきの不等式を同次式の形へ戻すこともできます。たとえば $a+b+c=1$ という条件のもとでの

ab+bc+ca\le\frac13

は、条件を外した同次形

ab+bc+ca\le\frac{(a+b+c)^{2}}{3}

と同値です。前者から後者を出すには、 $a+b+c>0$ のときに $a'=\dfrac{a}{a+b+c}$ などとおいて $a'+b'+c'=1$ の場合へ帰着させます。 $a+b+c=0$ のときは、 $a,b,c\ge0$ より $a=b=c=0$ となり、同次形の両辺はともに $0$ で成り立ちます。後者から前者を出すには、 $a+b+c=1$ を代入します。どちらの形で扱うかは、計算が短くなるほうを選びます。

5 等号が成り立つ条件から逆算する

非負の実数 $a,b,c$ が $a+b+c=1$ を満たすとき

ab+bc+ca\le\frac13

を示します。等号が成り立つ点を $a=b=c=\dfrac13$ と予想します。この点で $0$ になる対称な非負量として差の平方の和が候補になるので、示すべき式をその形へ変形することを目標にします。実際、 $a+b+c=1$ より

1-3(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca)=\frac12\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}\ge0

となり、 $ab+bc+ca\le\dfrac13$ が従います。等号は3つの平方がすべて $0$ になるとき、すなわち $a=b=c$ のときに限り、条件 $a+b+c=1$ と合わせて $a=b=c=\dfrac13$ です。予想と一致します。

同じ結論は、相加平均と相乗平均の関係から $ab\le\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}$ などを3つ足して $ab+bc+ca\le a^{2}+b^{2}+c^{2}$ を得る道筋でも出ます。等号が成り立つ点を先に決めておくと、どちらの道筋でも、示すべき非負量が何であるかがはじめから見えます。

6 変数の順序を仮定する：シュールの不等式

非負の実数 $a,b,c$ に対して

a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^{2}b

を示します。右辺は $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ と書けるので、左辺と右辺の差は

a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)

に等しくなります。この式は3文字のどの2つを入れ替えても変わらないので、 $a\ge b\ge c$ と仮定して示せば十分です。この仮定のもとで、はじめの2項をまとめると

a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)=(a-b)\left\{a(a-c)-b(b-c)\right\}

となり、さらに $a(a-c)-b(b-c)=(a-b)(a+b-c)$ ですから、差の全体は

(a-b)^{2}(a+b-c)+c(a-c)(b-c)

と書けます。 $a\ge b\ge c\ge0$ より $a+b-c\ge a-c\ge0$ 、 $c\ge0$ 、 $a-c\ge0$ 、 $b-c\ge0$ なので、 2つの項はどちらも $0$ 以上です。よって差は $0$ 以上であり、主張が示されました。

等号が成り立つのは2つの項がともに $0$ になるときです。 $a\ge b\ge c\ge0$ のもとで場合を分けると、 $a=b=c$ のとき、または $a=b$ かつ $c=0$ のときに限られます。文字の入れ替えを戻せば、一般には「3つが等しい」か「2つが等しく残る1つが $0$ である」かのいずれかです。 $a,b,c$ をすべて正の実数に限れば、等号が成り立つ条件は $a=b=c$ だけになります。境界にあたる $c=0$ の場合を忘れると、等号条件を取り違えます。

7 発展問題と完全解答

非負の実数 $a,b,c$ が $a+b+c=3$ を満たすとき

a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\ge3

を示せ。

7.1 着眼点

$abc$ は非負なので、まず $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ だけで3以上になるかを調べます。和が固定されているので、平方和を下から評価する道具を当てることができます。 $abc\ge0$ は落とすだけでよいので、境界を別に評価する必要はありません。

7.2 完全解答

分数の形のコーシー・シュワルツの不等式を、分子を $a,b,c$ 、分母をすべて $1$ として適用すると

a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{9}{3}=3

となります。また $a,b,c\ge0$ より $abc\ge0$ です。両者を足して

a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\ge3

が得られます。

さらに、この評価から等号が実際には成り立たないことが分かります。等号が成り立つには、第1の評価の等号条件 $a=b=c=1$ と、第2の評価の等号条件 $abc=0$ の両方が必要です。ところが $a=b=c=1$ のとき $abc=1\ne0$ なので、2つの条件は同時には成り立ちません。したがって

a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc>3

であり、もとの不等式は等号を含まない形で成り立ちます。

この議論から分かるのは、3が左辺の下界であることと、その下界に左辺が到達しないことの2つだけです。左辺の最小値そのものを求めるには、別の議論が必要になります。

7.3 典型的な失敗

平方和の評価の等号条件だけを見て、 $a=b=c=1$ をもとの式の等号条件とすることが誤りです。つないだ評価の等号は、各段階の等号条件が同時に成り立つときにしか生じません。
等号が生じないことを確かめずに「等号は $a=b=c=1$ 」と書くと、最小値を問う問題で答えを誤ります。
下界が得られたことと、その下界が最小値であることは別の主張です。到達することを確かめるまで、最小値であるとは言えません。

7.4 条件を変えた類題

非負の実数 $a,b,c$ が $a+b+c=3$ を満たすとき、 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\lambda abc\ge3$ がどの $\lambda\ge0$ について成り立つかを調べることができます。 $\lambda$ を大きくすると左辺は大きくなるので、成否の境目がどこにあるかを考えると、上の解答のどこが効いていたかが分かります。

8 演習

実数 $x,y,z$ に対する $x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge xy+yz+zx$ を、本文の平方和への分解とは別の方法で2通り示せ。
正の実数 $a,b,c$ に対し $\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}$ を示し、等号が成り立つ条件を求めよ。
非負の実数 $a,b,c$ に対するシュールの不等式 $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^{2}b$ の等号が成り立つ条件を、1つの変数が $0$ である場合まで含めて分類せよ。
正の実数 $a,b,c$ が $abc=1$ を満たすとき $a+b+c\ge3$ を、3変数の相加平均と相乗平均の関係を用いる方法と、 $a=x^{3}$ 、 $b=y^{3}$ 、 $c=z^{3}$ （ $x,y,z>0$ ）とおいて $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ を因数分解する方法の 2通りで示せ。
正の実数 $a,b,c$ に対し $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\ge1$ が成り立つ。この不等式に分数の形のコーシー・シュワルツの不等式をそのまま当てると、得られる下界がつねに $1$ 以下になり、 $a=b=c$ の場合を除いて $1$ に届かないことを示せ。また、その理由を本文の平方和への分解の結果と対応させて説明せよ。
各段階の等号条件が食い違う評価の連鎖の例を自分で作り、最終的な等号条件を誤って答えてしまう理由を説明せよ。

§A1.20競技数学：不等式