余事象・独立試行・反復試行 | 場合の数と確率統計

1 余事象

定義 1.1 (余事象). 標本空間を $\Omega$ とし、事象 $A\subseteq\Omega$ に対して、 $A$ が起こらない事象 $\Omega\setminus A$ を $A$ の余事象といいます。

公式 1.2 (余事象の確率).

P(\Omega\setminus A)=1-P(A).

証明. $A$ と $\Omega\setminus A$ は排反であり、その和集合は $\Omega$ です。したがって

P(A)+P(\Omega\setminus A)=P(\Omega)=1

が成り立ちます。▨

例 1.3 (少なくとも一回の成功). 成功確率が $p$ である独立な試行を $n$ 回行います。少なくとも一回成功する事象の余事象は、すべて失敗する事象です。したがって確率は

1-(1-p)^n

です。

独立性は、二つの事象の積の等式として定義します。原因と結果についての主張ではありません。

定義 2.1 (二事象の独立性). 事象 $A,B$ が独立であるとは、

P(A\cap B)=P(A)P(B)

が成り立つことをいいます。

注意 2.2 (排反と独立の違い). $A\cap B=\varnothing$ であることを排反といいます。 $P(A)>0$ かつ $P(B)>0$ の排反な二事象は、

P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)

なので独立ではありません。

公式 3.1 (反復試行の確率). 各回の成功確率が $p$ であり、各回が互いに独立である試行を $n$ 回行います。ちょうど $r$ 回成功する確率は

{}_nC_r p^r(1-p)^{n-r}

です。ただし $0\le r\le n$ とします。

証明. 成功する $r$ 回の選び方は ${}_nC_r$ 通りです。各選び方について、独立性から成功と失敗が指定どおり起こる確率は $p^r(1-p)^{n-r}$ です。これらの事象は排反なので、確率を足すと公式を得ます。▨

例 4.1 (誕生日が重なる確率). うるう日を除く365日を考え、各人の誕生日が365日のいずれにも同じ確率で属し、異なる人の誕生日が互いに独立であると仮定します。 $m\le365$ 人の誕生日がすべて異なる確率は

\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{365-m+1}{365}

です。したがって、少なくとも二人の誕生日が一致する確率は、この積を1から引いた値です。

注意 4.2 (誕生日モデルの限界). 現実の出生数は季節によって変化し、双子などの誕生日は独立ではありません。上の計算は、一様性と個人間の独立性を仮定した教材用モデルの結論であり、現実の集団へそのまま適用することはできません。

答えは順に $1-(5/6)^4$ 、 ${}_5C_2/2^5=5/16$ です。3では、積 $P(A)P(B)$ は正ですが、排反性から $P(A\cap B)=0$ なので独立性の等式が成り立ちません。