二項分布 | 場合の数と確率統計

1 定義と確率

定義 1.1 (二項分布). 成功確率 $p$ の試行を独立に $n$ 回行い、成功回数を $X$ とします。このとき $X$ の確率分布を、試行回数 $n$ 、成功確率 $p$ の二項分布といい、 $B(n,p)$ と書きます。ただし $n$ は正の整数、 $0\le p\le1$ とします。

公式 1.2 (二項分布の確率関数). $X\sim B(n,p)$ ならば、 $k=0,1,\ldots,n$ について

P(X=k)={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}

が成り立ちます。

証明. 成功する $k$ 回の選び方は ${}_nC_k$ 通りです。各選び方が起こる確率は独立性により $p^k(1-p)^{n-k}$ です。これらは排反なので、確率を足すと公式を得ます。▨

例 1.3 (成功が2回になる確率). 成功確率 $p$ の独立な試行を5回行うとき、成功がちょうど2回になる確率は

{}_5C_2p^2(1-p)^3=10p^2(1-p)^3

です。

2 期待値と分散

各回の成否を0と1の確率変数へ分けます。

定理 2.1 (二項分布の期待値と分散). $X\sim B(n,p)$ ならば、

E[X]=np,\qquad V[X]=np(1-p)

が成り立ちます。

証明. 第 $i$ 回が成功すれば $X_i=1$ 、失敗すれば $X_i=0$ とします。このとき

X=X_1+\cdots+X_n,\qquad E[X_i]=p,\qquad V[X_i]=p(1-p)

です。期待値の線形性から $E[X]=np$ を得ます。各回が独立なので $X_i$ も互いに独立であり、分散の加法性から $V[X]=np(1-p)$ を得ます。▨

3 分布の形

注意 3.1 (パラメータと分布の形). $p=1/2$ では分布は $n/2$ を中心として対称です。 $p<1/2$ では小さい成功回数に確率が集まり、 $p>1/2$ では大きい成功回数に確率が集まります。 $n$ を増やすと分散は増えますが、成功割合 $X/n$ の分散は $p(1-p)/n$ へ減少します。

公式 3.2 (二項分布の隣接確率比). $0<p<1$ とし、 $0\le k<n$ を満たす整数 $k$ について、

\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} =\frac{n-k}{k+1}\frac{p}{1-p}

が成り立ちます。この比を調べると、確率が増加から減少へ変わる位置を判断することができます。

注意 3.3 (成功確率が端点にある場合). $p=0$ では $P(X=0)=1$ 、 $p=1$ では $P(X=n)=1$ であり、分布は一点に集中します。隣接確率比は $p$ または $1-p$ による除算を含むため、これらの端点では用いず、確率関数から分布を直接判断します。

4 演習

$X\sim B(10,0.3)$ のとき、 $P(X=3)$ 、 $E[X]$ 、 $V[X]$ を求めます。
$B(8,0.2)$ と $B(8,0.8)$ の確率関数が左右反転の関係にあることを説明します。
$X\sim B(n,p)$ のとき、成功割合 $X/n$ の標準偏差を求め、 $n$ の増加による変化を説明します。

1の答えは ${}_{10}C_3(0.3)^3(0.7)^7$ 、 $3$ 、 $2.1$ です。2では

P_{0.8}(X=k)={}_8C_k(0.8)^k(0.2)^{8-k}=P_{0.2}(X=8-k)

なので左右反転します。3の標準偏差は $\sqrt{p(1-p)/n}$ であり、 $p$ を固定すると $n$ の平方根に反比例して減少します。

§B4.11二項分布

1 定義と確率

2 期待値と分散

3 分布の形

4 演習

例題

演習

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