指数関数 | 指数関数と対数関数

1 指数関数の定義

定義 1.1 (指数関数). $a>0$ 、 $a\ne1$ とする。実数 $x$ に対して§B3.3 定義 4.1が定める実数乗 $a^{x}$ を対応させる関数を、 $a$ を底とする指数関数という。定義域は実数全体であり、本記事ではこの関数を $f(x)=a^{x}$ と書く。

注意 1.2 (底に置く条件). $a\le0$ の場合には、指数が有理数である段階ですでに累乗が定まらない（§B3.1 注意 1.3）。したがって底は正の数に限る。

$a=1$ の場合は、§B3.3 定理 6.1の 5 によりどの実数 $x$ についても $1^{x}=1$ であり、値が $x$ によらない。以下で述べる狭義単調性も値域についての主張も成り立たないので、 $a=1$ を底から除く。

2 グラフ

指数関数のグラフは、底が $1$ より大きい場合と、 $0$ と $1$ の間にある場合とで増減が異なります。次の図は、底が $2$ の場合と $\dfrac12$ の場合を重ねたものです。

次の図は、底 $a$ を $1$ より大きい範囲で動かしたものです。

どちらの図でも、グラフは点 $(0,1)$ を通ります。これは§B3.3 定理 4.2の 1 により $a^{0}=1$ であることによります。底を逆数に取り替えたときにグラフが $y$ 軸に関して対称になることは、次の等式から従います。

定理 2.1 (底を逆数に取り替えたときのグラフ). $a>0$ とする。すべての実数 $x$ について

\left(\frac1a\right)^{x} = a^{-x}

である。したがって、点 $(x,y)$ が $y=a^{x}$ のグラフ上にあることと、点 $(-x,y)$ が $y=\left(\dfrac1a\right)^{x}$ のグラフ上にあることは同値である。すなわち、二つのグラフは $y$ 軸に関して対称である。

証明.§B3.3 定理 6.1の 2 により $a^{x}a^{-x} = a^{0}$ であり、§B3.3 定理 4.2の 1 により $a^{0}=1$ です。 $a^{x}>0$ ですから $a^{-x} = \dfrac{1}{a^{x}}$ です。一方、§B3.3 定理 6.1の 3 と 5 により

a^{x}\left(\frac1a\right)^{x} = \left(a\cdot\frac1a\right)^{x} = 1^{x} = 1

ですから $\left(\dfrac1a\right)^{x} = \dfrac{1}{a^{x}}$ です。二つの値はともに $\dfrac{1}{a^{x}}$ に等しいので、等式が成り立ちます。

点 $(x,y)$ が $y=a^{x}$ のグラフ上にあることは $y=a^{x}$ が成り立つことです。いま示した等式により、これは $y = \left(\dfrac1a\right)^{-x}$ が成り立つことと同値であり、点 $(-x,y)$ が $y=\left(\dfrac1a\right)^{x}$ のグラフ上にあることと同値です。▨

3 連続性

値域についての主張を中間値の定理から導くために、指数関数が連続であることを先に確かめます。

定理 3.1 (指数関数の連続性). $a>0$ とする。どの実数 $t$ についても $\displaystyle\lim_{x\to t}a^{x} = a^{t}$ である。すなわち、 $f(x)=a^{x}$ は実数全体で連続である。

証明. $a>1$ の場合を先に扱います。 $t\in\mathbb R$ と $\varepsilon>0$ を任意に取ります。アルキメデスの性質（§D1.4 命題 2.1）により、

\frac{a^t(a-1)}{N}<\varepsilon

を満たす正の整数 $N$ を取ることができます。 $|x-t|<1/N$ とし、 $u=\min\{x,t\}$ 、 $v=\max\{x,t\}$ とおきます。すると $0\le v-u<1/N$ です。§B3.3 定理 6.1の 2 と 5、および§B3.2 定理 2.1により、

\begin{aligned} |a^x-a^t| &=a^u\bigl(a^{v-u}-1\bigr)\\ &\le a^t\left(a^{1/N}-1\right) \le \frac{a^t(a-1)}{N} <\varepsilon \end{aligned}

です。したがって $x\to t$ のとき $a^x\to a^t$ です。

$0<a<1$ の場合は $b=1/a>1$ とおきます。いま示した結果により、 $y\to-t$ のとき $b^y\to b^{-t}$ です。 $x\to t$ ならば $-x\to-t$ であり、定理 2.1により $a^x=b^{-x}$ ですから、 $a^x\to b^{-t}=a^t$ です。 $a=1$ の場合は $a^x=1$ が一定なので明らかです。 $t$ は任意であるから、 $a^x$ は実数全体で連続です。▨

4 狭義単調性と値域

定理 4.1 (指数関数の狭義単調性と値域). $a>0$ 、 $a\ne1$ とし、 $f(x)=a^{x}$ とする。

$a>1$ のとき、 $x_{1}<x_{2}$ を満たす実数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ について $f(x_{1})<f(x_{2})$ である。 $0<a<1$ のとき、 $x_{1}<x_{2}$ を満たす実数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ について $f(x_{1})>f(x_{2})$ である。
$f$ は単射である。すなわち、 $f(x_{1})=f(x_{2})$ を満たす実数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ について $x_{1}=x_{2}$ である。
$f$ の値域は正の数全体である。すなわち、どの正の数 $y$ についても、 $a^{x}=y$ を満たす実数 $x$ がただ一つ存在する。

証明. 1 は§B3.3 定理 6.1の 5 そのものです。

2 を示します。実数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ が $x_{1}\ne x_{2}$ を満たすとすると、 $x_{1}<x_{2}$ と $x_{2}<x_{1}$ のいずれかが成り立ちます。1 により、どちらの場合も $f(x_{1})\ne f(x_{2})$ です。この対偶が 2 です。

3 を示します。 $a>1$ の場合を先に扱います。§B3.3 定理 6.1の 1 により $a^{x}>0$ ですから、値域は正の数全体に含まれます。逆に、正の数 $y$ を任意に取ります。 $h=a-1$ と置くと $h>0$ です。§B3.2 定理 1.1により、正の整数 $n$ について $a^{n} = (1+h)^{n} \ge 1+nh$ です。そこで $nh > y$ かつ $nh > \dfrac1y$ を満たす正の整数 $n$ を取ると、 $a^{n} > y$ かつ $a^{n} > \dfrac1y$ です。後者と $a^{n}>0$ から $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}} < y$ です。

定理 3.1により $f$ は閉区間 $[-n,\,n]$ で連続であり、 $f(-n) < y < f(n)$ です。中間値の定理により、 $f(x)=y$ を満たす実数 $x$ が $-n<x<n$ の範囲に存在します。この $x$ がただ一つであることは 2 によります。

$0<a<1$ の場合は、 $b=\dfrac1a>1$ について 3 が成り立つことと、定理 2.1によります。正の数 $y$ に対して $b^{z}=y$ を満たす実数 $z$ がただ一つ存在し、 $a^{x} = b^{-x}$ ですから、 $a^{x}=y$ を満たす実数は $x=-z$ ただ一つです。

本記事は、中間値の定理を認めて用いました。中間値の定理そのものは「関数の極限」が扱い、その根拠である実数の連続性は「ε-論法と基礎解析」が扱います。□

注意 4.2 (値域が正の数全体であることの使い道).定理 4.1の 3 は、指数関数が正の数全体から実数全体への逆向きの対応を持つことを述べている。この対応が「対数関数」で定める対数であり、逆の対応が定まる根拠が全単射性であることは「単射・全射・全単射と逆写像」が扱う。

また 3 は、 $a^{x}$ が $0$ や負の値を取らないことも述べている。方程式 $a^{x}=0$ と $a^{x}=-1$ は実数の解を持たない。

5 指数を含む方程式と不等式

定理 4.1の 1 と 2 から、底が同じ二つの累乗の大小と、指数どうしの大小が対応することが分かります。方程式と不等式を解くときは、次の形で用います。

公式 5.1 (底をそろえて指数を比べる). $a>0$ 、 $a\ne1$ とし、 $p$ 、 $q$ を実数とする。

$a^{p}=a^{q}$ であることと $p=q$ であることは同値である。
$a>1$ のとき、 $a^{p}<a^{q}$ であることと $p<q$ であることは同値である。
$0<a<1$ のとき、 $a^{p}<a^{q}$ であることと $p>q$ であることは同値である。

2 と 3 で不等号を $\le$ に取り替えた主張も成り立つ。すなわち、 $a>1$ のとき $a^{p}\le a^{q}$ であることと $p\le q$ であることは同値であり、 $0<a<1$ のとき $a^{p}\le a^{q}$ であることと $p\ge q$ であることは同値である。

証明. 1 について、 $p=q$ ならば $a^{p}=a^{q}$ です。逆は定理 4.1の 2 です。

2 について、 $a>1$ とします。 $p<q$ ならば定理 4.1の 1 により $a^{p}<a^{q}$ です。逆に $a^{p}<a^{q}$ とすると、 $p=q$ ならば両辺が等しくなり、 $p>q$ ならば同じく 1 により $a^{p}>a^{q}$ となって、いずれも仮定に反します。よって $p<q$ です。

3 も、 $0<a<1$ の場合の定理 4.1の 1 を用いて同じ手順で示します。

不等号を $\le$ に取り替えた主張は、1 と、いま示した 2 および 3 を合わせると得られます。たとえば $a>1$ の場合、 $a^{p}\le a^{q}$ であることは「 $a^{p}<a^{q}$ または $a^{p}=a^{q}$ 」であることであり、これは「 $p<q$ または $p=q$ 」すなわち $p\le q$ と同値です。▨

例 5.2 (指数を含む方程式). 方程式 $4^{x}=8$ を解く。 $4=2^{2}$ 、 $8=2^{3}$ であるから、§B3.3 定理 6.1の 4 により $4^{x} = \left(2^{2}\right)^{x} = 2^{2x}$ である。したがって方程式は $2^{2x}=2^{3}$ となり、公式 5.1の 1 により $2x=3$ 、すなわち $x=\dfrac32$ である。

検算すると、 $4^{3/2} = \left(\sqrt{4}\right)^{3} = 2^{3} = 8$ である。

例 5.3 (指数を含む不等式). 不等式 $\left(\dfrac13\right)^{x} \ge 9$ を解く。定理 2.1により $\left(\dfrac13\right)^{x} = 3^{-x}$ であり、 $9=3^{2}$ であるから、不等式は $3^{-x} \ge 3^{2}$ と書き直すことができる。底は $3>1$ であるから、公式 5.1の 2 により、これは $-x \ge 2$ すなわち $x \le -2$ と同値である。

底を $\dfrac13$ のまま比べることもできる。 $9 = \left(\dfrac13\right)^{-2}$ であるから、不等式は $\left(\dfrac13\right)^{x} \ge \left(\dfrac13\right)^{-2}$ となり、底は $0<\dfrac13<1$ であるから、公式 5.1の 3 により $x \le -2$ である。どちらの手順でも同じ解を得る。

例 5.4 (置き換えて解く方程式). 方程式 $9^{x} - 4\cdot 3^{x} + 3 = 0$ を解く。§B3.3 定理 6.1の 4 により $9^{x} = \left(3^{2}\right)^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}$ であるから、 $t=3^{x}$ と置くと方程式は $t^{2}-4t+3=0$ となる。左辺を因数分解すると $(t-1)(t-3)=0$ であるから $t=1$ または $t=3$ である。

定理 4.1の 3 により、 $t$ が動く範囲は正の数全体であり、正の数 $t$ に対して $3^{x}=t$ を満たす実数 $x$ はただ一つである。 $t=1=3^{0}$ から $x=0$ 、 $t=3=3^{1}$ から $x=1$ を得る。よって解は $x=0$ と $x=1$ である。

注意 5.5 (置き換えた変数の範囲).例 5.4で $t=3^{x}$ と置いたとき、 $t$ が満たす条件は $t>0$ である。 $t$ についての方程式が $0$ 以下の解を持つ場合、その解に対応する実数 $x$ は存在しないので、解として採用しない。たとえば $9^{x}+2\cdot3^{x}-3=0$ では $t^{2}+2t-3=0$ から $t=1$ 、 $t=-3$ を得るが、 $t=-3$ は $t>0$ を満たさないので捨て、 $t=1$ から $x=0$ だけが解になる。

6 つまずいたら

$a^{x}$ の値は常に正です。方程式や不等式を解いた結果として $a^{x}$ が $0$ 以下の値を取る場合は、その候補を捨てます。捨ててよい根拠は定理 4.1の 3 です。
不等式を指数の不等式へ直すとき、不等号の向きは底で決まります。底が $1$ より大きければ向きは変わらず、 $0$ と $1$ の間であれば向きが変わります（公式 5.1の 2 と 3）。両辺の底をそろえたあとで、底がどちらの場合かを確かめる必要があります。
公式 5.1は、両辺の底が同じ数である場合の主張です。 $2^{x} < 3^{x}$ のように底が異なる不等式へそのまま用いることはできません。この場合は、両辺を正の数 $3^{x}$ で割って $\left(\dfrac23\right)^{x} < 1$ と書き直し、底を $\dfrac23$ にそろえてから比べます。
グラフから読み取ることができるのは、表示した範囲での増減と、通る点だけです。値域が正の数全体になることは、グラフを見ても分かりません。この主張は定理 4.1の 3 で、中間値の定理から導きました。

閑話休題：一定の倍率で増える量の大きさ 底が $1$ より大きい指数関数では、指数が $1$ 増えるたびに値が同じ倍率で大きくなります。倍率が $2$ の場合、指数が $10$ 増えると値は約 $1000$ 倍、 $20$ 増えると約 $100$ 万倍になります。 $2^{10}=1024$ と $2^{20}=1048576$ がその値です。

たとえば、最初の項を $1$ とし、項が一つ進むたびに $2$ 倍になる数列では、第64項は $2^{63}$ です。 $2^{10}=1024$ を用いると、 $2^{63}=8(2^{10})^6$ ですから、第64項が $8\times10^{18}$ より大きいことを、近似値に頼らず確かめることができます。

倍率が $1$ より小さい場合は、同じ形で値が小さくなります。最初の量を $A$ とし、時間が $T$ だけ進むごとに量が半分になるという規則を仮定すると、経過時間 $t$ における量は

A\left(\frac12\right)^{t/T}

と表されます。この式は「各区間で必ず半分になる」という仮定を数式へ移したモデルです。現実の量へ適用するときは、対象がこの仮定を満たす時間範囲を、測定と対象分野の知識によって別に確かめる必要があります。

§B3.4指数関数

1 指数関数の定義

2 グラフ

3 連続性

4 狭義単調性と値域

5 指数を含む方程式と不等式

例題

演習

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