§B3.8指数関数の微分

注意 1.3 (この二つの条件を満たす関数).定理 1.2は、$e^{x}$が$y'=y$と$y(0)=1$をともに満たすことを述べている。逆に、この二つをともに満たす関数が$e^{x}$のほかに無いことも成り立つ。本記事はこの逆向きの主張を証明せず、以後の根拠にも用いない。証明は、同じ単元の「諸外国における指数関数の取り扱い」が§B3.12 定理 10.1として与える。そこでは、区間の全体で導関数が$0$である関数がその区間で定数になることを認めて用いる。導関数についての条件と初期条件から関数を決定する一般の扱いは「常微分方程式」が与える。

注意 2.3 ($c$が定める対応と、$a=e$の場合の確かめ).公式 2.2の$c$は、$a$から定まる数である。$a$に$c$を対応させる規則は、定理 2.1により正の数全体で定まっており、これが「対数関数」で定める対数のうち、底を$e$とするものにあたる。その対数を自然対数と呼び、$\log a$と書くことは「自然対数」が定める。本記事は$\log$の記号をまだ定義していないので、以下でも$c$と書く。

$a=e$の場合を確かめる。$e^{1}=e$であるから$c=1$であり、公式 2.2は$\left(e^{x}\right)' = e^{x}$となって定理 1.1に一致する。$a=1$の場合は$e^{0}=1$から$c=0$であり、$\left(1^{x}\right)'=0$となる。これは$1^{x}$が定数関数$1$であること（§B3.3 定理 6.1の 5）と一致する。

注意 2.5 (指数関数の増減).$a>0$、$a\ne1$とし、$c$を$e^{c}=a$を満たす実数とする。$a^{x}>0$であるから、公式 2.2により導関数の符号は$c$の符号と一致する。$a>1$のときは$e^{c} > 1 = e^{0}$と§B3.4 定理 4.1の 1 により$c>0$であり、導関数は正であるから$a^{x}$は狭義単調増加である。$0<a<1$のときは同じ理由で$c<0$であり、$a^{x}$は狭義単調減少である。導関数の符号から関数の増減を判定することは「多項式の微分と接線・増減・極値」が扱う。この結論は§B3.4 定理 4.1の 1 と一致しており、狭義単調性を導関数から確かめ直したものになっている。

注意 3.2 (この評価から読み取ることができること).$n = 1$とすると$e^{x} \ge 1 + x$（$x \ge 0$）である。これは接線$y = 1 + x$がグラフの下側にあることを述べている。

$P(x)$を次数$d$の多項式とすると、ある定数$C>0$が存在し、$x\ge1$で$|P(x)|\le Cx^d$となる。上の定理を$n=d+1$として用いると

したがって$x>\max\{1,C(d+1)!\}$ならば$e^x>Cx^d\ge|P(x)|$である。すなわち、各多項式$P$を固定すると、十分大きい$x$について$e^x>|P(x)|$となる。これは、すべての$x\ge0$で指数関数が任意の多項式より大きいという主張ではない。たとえば$x=0$では、定数多項式$P(x)=2$に対して$e^0=1<2$である。

$x = 1$とすると$e \ge \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$である。「基本極限（sin x / x）」は$\left(1+\dfrac1n\right)^{n} \le \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!} < 3$という上からの評価を用いている。したがって、有限和$S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac1{k!}$について

である。$S_n$は数列$\left(1+\dfrac1n\right)^n$の上側にあり、$e$の下側にあるのであって、$e$を上下から挟む二つの列ではない。級数の和が$e$に等しいことは「初等関数の厳密な定義」の§D1.24 定義 1.1と§D1.24 定理 3.8から従う。