§E11.17多変量中心極限定理

証明.$\mu_n\Rightarrow\mu$とし、$F$の連続点$a$と$\delta>0$に対して

とおく。両関数は有界連続であり、

である。$\mu_n$に関して積分し、$n\to\infty$とすると、

を得る。$\delta\downarrow0$と$F$の$a$における連続性から$F_n(a)\to F(a)$である。逆向きは§E11.14 補題 4.1により従う。▨

証明. 任意の有界連続関数$h:\R^k\to\R$に対して$h\circ g$は有界連続であるから、

である。▨

証明.(1)を示す。$X$の分布を$\mu$とすると、

である。$h\to0$のとき被積分関数は各点で$0$に収束し、$2$以下であるから、優収束定理§E9.7 定理 3.2により右辺は$0$に収束する。原点での値、絶対値の上界および共役の等式は、指数関数の対応する性質を積分して得られる。

(2)を示す。等式$t^\top(AX+b)=(A^\top t)^\top X+t^\top b$を指数関数に代入して期待値を取ればよい。

(3)を示す。固定した$t\in\R^d$に対して、$t^\top X_1,\ldots,t^\top X_r$は独立な実確率変数である。§E11.14 命題 1.3をこれらの変数に適用し、特性関数の引数を$1$とすれば表示式を得る。

(4)を示す。§E11.10 定理 4.2により、$t^\top X$の分布は$t^\top m+\sqrt{t^\top\Sigma t}\,G$の分布に等しい。ただし$G\sim N(0,1)$である。§E11.16 命題 1.1から

を得る。この等式は$t^\top\Sigma t=0$の場合にも成り立つ。▨

証明. 標準正規分布の特性関数§E11.16 命題 1.1に変数変換を施すと、$u\in\R$に対して

である。各座標について積を取り、絶対可積分な被積分関数へ Fubini の定理§E9.11 定理 3.2を適用すると、

を得る。

Tonelli の定理§E9.11 定理 2.3により、任意の Borel 集合$B\subseteq\R^d$について

である。したがって、括弧内の関数が密度である。$g_\varepsilon$の積分表示を代入すると、$\mu$の全質量が$1$であり$e^{-\varepsilon\|t\|^2/2}$が可積分であるため、 Fubini の定理によって$y,t$の積分順序を交換することができる。よって

同じ可積分な上界と優収束定理から、$p_{\mu,\varepsilon}$は連続である。

分布$\mu$の$X$と標準正規ベクトル$G$を積確率空間上で独立に取ると、$X+\sqrt\varepsilon G$の分布は$\mu_\varepsilon$である。任意の有界連続関数$f$に対して$f(X+\sqrt\varepsilon G)\to f(X)$が各点で成り立つ。定数$\|f\|_\infty$を上界とする優収束定理により

である。▨

証明.$\widehat\mu=\widehat\nu$とすると、定理 2.3によりすべての$\varepsilon>0$で$p_{\mu,\varepsilon}=p_{\nu,\varepsilon}$である。同じ反転公式で$\varepsilon\downarrow0$とすれば、すべての有界連続関数$f$について$\int f\,d\mu=\int f\,d\nu$を得る。§E11.10 補題 2.1により$\mu=\nu$である。▨

証明.$R>0$に対して$\chi_R(x)=\min\{1,\max\{0,R+1-\|x\|\}\}$とおく。$\chi_R$は閉球$\{\|x\|\leq R\}$上で$1$、$\{\|x\|\geq R+1\}$上で$0$となる有界連続関数である。$\chi_R\to1$が$R\to\infty$で各点収束するので、優収束定理により$\int\chi_R\,d\mu\to1$である。任意の$\eta>0$に対して$\int\chi_R\,d\mu>1-\eta/2$となる$R$を取り、$\int\chi_R\,d\mu_n\to\int\chi_R\,d\mu$を用いると、十分大きい$n$について

である。残る有限個の$\mu_n$については、閉球が$\R^d$を増加して覆うことから、半径を共通に大きくして同じ上界を得ることができる。▨

証明.$m\in\N$、$k=(k_1,\ldots,k_d)\in\Z^d$に対して

とおく。すべての$(m,k)$を列挙し、$[0,1]$内の列$\mu_n(Q_{m,k})$から収束部分列を順に選出する。対角部分列を取れば、すべての$(m,k)$について

となる。$m$を固定すると、任意の有限集合$J\subseteq\Z^d$について$\sum_{k\in J}p_{m,k}\leq1$である。一方、任意の$\eta>0$に対し、緊密性から$\inf_j\mu_{n_j}(\{\|x\|\leq R\})>1-\eta$となる$R$を取る。この閉球と交わる$Q_{m,k}$は有限個であり、その添字集合を$J$とすると$\sum_{k\in J}p_{m,k}\geq1-\eta$である。したがって、

各$Q_{m,k}$は次の段階の$2^d$個の立方体の非交和なので、有限和の極限を取ることにより

も成り立つ。

$\Z^d$の列挙を一つ固定し、$[0,1)$を長さ$p_{0,k}$の半開区間$I_{0,k}$に順に分割する。長さが$0$の区間は空集合とする。各$I_{m,k}$を、$v\in\{0,1\}^d$の固定した順に、長さ$p_{m+1,2k+v}$の半開区間$I_{m+1,2k+v}$へ分割する。質量の和と整合関係から、各段階の区間は$[0,1)$を分割し、子の区間は親の区間に含まれる。$u\in I_{m,k}$に対して$Y_m(u)=2^{-m}k$と定める。各$Y_m$は可測であり、Lebesgue 確率空間$[0,1)$上で値$2^{-m}k$を取る確率は$p_{m,k}$である。

固定した$u$に対応する立方体は入れ子である。$l\geq m$ならば

であるから、$Y_m(u)$は$\R^d$の Cauchy 列であり、極限$Y(u)$が存在する。可測関数の各成分の極限として$Y$は可測である。その分布を$\mu$とする。有界連続関数$f:\R^d\to\R$に対して、優収束定理から

が成り立つ。

$q_m(x)=2^{-m}k$を$x\in Q_{m,k}$によって定める。固定した$m$について、$\sum_k p_{m,k}=1$と質量の各点収束から

である。実際、有限集合$J$を$\sum_{k\notin J}p_{m,k}<\eta$となるように取り、$J$上で極限を取れば、十分大きい$j$について$\sum_{k\notin J}\mu_{n_j}(Q_{m,k})<2\eta$となる。$J$上の絶対差の和は$0$に収束し、$J$外の絶対差の和は$3\eta$未満である。よって

$M=\|f\|_\infty$とする。任意の$\eta>0$に対して緊密性により$\sup_j\mu_{n_j}(\{\|x\|>R\})<\eta$となる$R$を取る。$\|q_m(x)-x\|\leq\sqrt d\,2^{-m}$なので、$f$の閉球$\{\|x\|\leq R+\sqrt d\}$上の一様連続性から

したがって、すべての$j,m$について

三角不等式を用い、$j\to\infty$、$m\to\infty$の順に極限を取ると、

を得る。$\eta>0$は任意なので、$\mu_{n_j}\Rightarrow\mu$である。▨

証明.$e_j$を第$j$座標ベクトルとする。第$j$周辺分布の特性関数は$s\mapsto\varphi_n(se_j)$なので、§E11.14 補題 4.2により、任意の$\delta>0$について

$\psi(0)=1$である。$\psi$の原点での連続性から、任意の$\eta>0$に対し$\delta$を十分小さく取れば、すべての$j=1,\ldots,d$について

となる。有限区間上の優収束定理により、十分大きい$n$では各周辺の表示した尾部確率は$\eta/d$未満である。事象の包含

から、十分大きい$n$に対して左辺の測度は$\eta$未満である。残る有限個の測度について半径を大きくすれば、列全体について同じ尾部評価を得る。▨

証明.(1)を示す。$x\mapsto e^{it^\top x}$の実部と虚部は有界連続であるから、分布収束の定義を両者に適用すればよい。

(2)を示す。補題 3.4により$(\mu_n)$は緊密であり、補題 3.3によって分布収束する部分列が存在する。その極限を$\mu$とすると、(1)から$\widehat\mu=\psi$である。定理 2.4により、この特性関数をもつ Borel 確率測度は一意である。

全列が$\mu$に分布収束しないと仮定すると、有界連続関数$f$、$a>0$および部分列$(\mu_{n_j})$が存在して、すべての$j$について

となる。この部分列も緊密なので、さらに分布収束する部分列を持つ。その極限を$\nu$とすると、(1)と仮定の各点収束から$\widehat\nu=\psi=\widehat\mu$である。一意性により$\nu=\mu$なので、この部分列上では表示した絶対差が$0$に収束する。すべての項で$a$以上であることと矛盾する。したがって$\mu_n\Rightarrow\mu$である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)は、連続写像$x\mapsto t^\top x$に定理 1.3を適用すれば従う。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。各$t$について、実確率変数$t^\top X_n$の分布収束から

である。$\varphi_X$は原点で連続なので、定理 3.5 (2)と定理 2.4から$X_n\Rightarrow X$を得る。▨

証明.§E11.6 定理 3.2により$\Sigma$は対称半正定値であるから、§E11.10 定理 4.2によって分布$N_d(0,\Sigma)$が存在する。この分布に従う確率ベクトルを$Z$とする。$t\in\R^d$を固定し、$Y_j=t^\top(X_j-m)$および$s^2=t^\top\Sigma t$とおく。$(Y_j)$は独立同分布であり、期待値と有限和の交換から$E[Y_j]=0$、$E[Y_j^2]=s^2<\infty$である。

$s^2>0$ならば、一次元中心極限定理§E11.16 定理 2.1により$n^{-1/2}\sum_{j=1}^nY_j/s\Rightarrow N(0,1)$である。命題 1.2と定理 1.3を用いて$s$倍すると、

を得る。$s^2=0$ならば$E[Y_j^2]=0$なので各$Y_j$はほとんど確実に$0$であり、各有限和の分布は$N(0,0)$である。したがって、表示した分布収束はこの場合にも成り立つ。

§E11.10 定理 4.2により$t^\top Z\sim N(0,t^\top\Sigma t)$である。すべての$t$で射影の分布収束を得たので、定理 4.1により結論が従う。▨

証明. 任意の$\varepsilon>0$と各$i$に対して

であるから、両方向の含意を得る。▨

証明.$h:\R^{d+q}\to\R$を有界連続関数とし、$M=\|h\|_\infty$とおく。任意の$\eta>0$に対して、補題 3.2により

となる$R$を取る。$h$はコンパクト集合$\{(x,y):\|x\|\leq R,\ \|y-c\|\leq1\}$上で一様連続なので、任意の$\alpha>0$に対し$0<\delta<1$を選び、$\|x\|\leq R$、$\|y-c\|\leq\delta$ならば$|h(x,y)-h(x,c)|<\alpha$とすることができる。よって

$Y_n\xrightarrow{P}c$なので、左辺の上極限は$\alpha+2M\eta$以下である。$\alpha,\eta>0$は任意であるから左辺は$0$に収束する。一方、$x\mapsto h(x,c)$は有界連続なので、$X_n\Rightarrow X$から$E[h(X_n,c)]\to E[h(X,c)]$である。したがって$(X_n,Y_n)\Rightarrow(X,c)$を得る。$g$に関する結論は定理 1.3により従う。▨

証明.命題 5.2により$(a_n,b_n)\xrightarrow{P}(a,b)$である。定理 5.3を連続写像$(x,a,b)\mapsto ax+b$に適用すればよい。▨

証明. 行列の成分を固定した順に並べると、命題 5.2により$(A_n,b_n)\xrightarrow{P}(A,b)$である。写像$(x,A,b)\mapsto Ax+b$は各成分が多項式なので連続であり、定理 5.3から最初の結論を得る。$X\sim N_d(m,\Sigma)$の場合は、命題 2.2 (2)と命題 2.2 (4)により

である。定理 2.4から後半の結論が従う。▨