§E11.13Borel–Cantelli の補題と零一法則

証明. 上極限の定義とド・モルガン則から

を得る。表示したド・モルガン則による等式が第一の等式である。第二の等式も、下極限の定義へ同じ操作を適用して得られる。▨

証明. 任意の$N\geq1$に対して

である。確率測度の単調性と可算劣加法性により、

を得る。収束する非負級数の尾部は$N\to\infty$で$0$に収束するため、左辺は$0$である。▨

証明. 補事象として選んだ$B_j$の個数に関する帰納法を用いる。補事象が一つもなければ、等式は事象族の独立性の定義そのものである。少なくとも一つある場合に$B_r=\Omega\setminus A_{i_r}$としてよい。$C=B_1\cap\cdots\cap B_{r-1}$と置く。帰納法の仮定を、$C$と、$C\cap A_{i_r}$を表す二つの積に適用すると、

を得る。上の積の等式によって帰納法が閉じる。

$\sigma(A_i)=\{\emptyset,\Omega,A_i,\Omega\setminus A_i\}$である。各シグマ加法族から選んだ事象に$\emptyset$が含まれる場合は両辺が$0$であり、それ以外は上で示した等式または$\Omega$の因子を除いた等式になる。したがって、$(\sigma(A_i))_{i\in I}$は独立である。▨

証明.$N\leq M$に対して、補題 2.3から

である。$x\geq0$に対して$1-x\leq e^{-x}$である。実際、$h(x)=e^{-x}-(1-x)$と置けば$h(0)=0$かつ$h'(x)=1-e^{-x}\geq0$である。したがって、

仮定した級数は発散するため、固定した$N$に対して右辺は$M\to\infty$で$0$に収束する。

事象$\bigcap_{n=N}^{M}(\Omega\setminus A_n)$は$M$について減少し、その共通部分は$\bigcap_{n=N}^{\infty}(\Omega\setminus A_n)$である。確率測度は有限測度なので、測度の上からの連続性§E9.2 定理 4.1を適用して

を得る。上極限の補集合は

である。右辺は確率零の事象の可算和であるから、その確率は$0$である。ゆえに上極限の確率は$1$である。▨

証明. 確率収束の定義§E11.12 定義 1.2により、各$k\geq1$について十分大きな$n$では

である。$n_0=0$とし、この不等式を満たす$n>n_{k-1}$のうち最小のものを$n_k$と定める。すると、

である。第一 Borel–Cantelli の補題を事象$B_k=\{|X_{n_k}-X|>1/k\}$に適用すると、確率1の集合上で$B_k$が起こるのは有限回だけである。したがって、その集合の各$\omega$について、十分大きな$k$では

である。ゆえに$X_{n_k}(\omega)\to X(\omega)$であり、主張を得る。▨

証明. 各$j$について

と置く。各$\mathcal P_j$は$\Omega$を含む π 系である。また、一つの$B_i$以外をすべて$\Omega$と選ぶことにより$\mathcal G_i\subseteq\mathcal P_j$となるので、$\sigma(\mathcal P_j)=\mathcal H_j$である。

$C_j=\bigcap_{i\in I_j}B_i\in\mathcal P_j$とする。元のシグマ加法族の族の独立性と$I_j$の互いに素なことから、

が成り立つ。ここから各$C_j$を$\mathcal H_j$の任意の事象へ順に拡張する。

最初の$k-1$個の座標では$\mathcal H_j$の任意の事象を許し、残りの座標では$\mathcal P_j$の事象を取る場合に積公式が成り立つと仮定する。最初は$k=1$であり、上の計算がこの仮定を与える。$D_1\in\mathcal H_1,\ldots,D_{k-1}\in\mathcal H_{k-1}$と$C_{k+1}\in\mathcal P_{k+1},\ldots,C_r\in\mathcal P_r$を固定し、積公式が成り立つ$B\in\mathcal H_k$全体を$\mathcal L_k$とする。

帰納法の仮定を$B=\Omega\in\mathcal P_k$に適用すると$\Omega\in\mathcal L_k$である。$B\in\mathcal L_k$ならば、$B$の場合の等式を$\Omega$の場合の等式から引くことにより、$\Omega\setminus B\in\mathcal L_k$を得る。二つずつ交わらない$B_1,B_2,\ldots\in\mathcal L_k$に対しては、確率測度の可算加法性を両辺へ適用することにより$\bigcup_nB_n\in\mathcal L_k$を得る。したがって$\mathcal L_k$は Dynkin 系である。帰納法の仮定から$\mathcal P_k\subseteq\mathcal L_k$であるため、 π–λ 定理§E9.1 定理 4.8により$\mathcal H_k\subseteq\mathcal L_k$となる。

この操作を$k=1,\ldots,r$の順に繰り返すと、任意の$D_j\in\mathcal H_j$に対して

を得る。したがって$(\mathcal H_j)_{1\leq j\leq r}$は独立である。▨

証明.

と置き、$J=\emptyset$のときの共通部分を$\Omega$とする。$\mathcal P_{>m}$は π 系であり、各$\mathcal G_j$を含む。実際、二つの有限共通部分を交わすと、添字集合の和集合上で同じ添字に属する二事象を交わした有限共通部分になる。したがって、$\sigma(\mathcal P_{>m})=\mathcal H_{m+1}$である。

$C\in\mathcal P_{>m}$を固定し、$C$に現れる添字全体を$J$とする。$J=\emptyset$の場合には$C=\Omega$なので、任意の$B\in\mathcal F_m$に対して$P(B\cap C)=P(B)=P(B)P(C)$である。$J\ne\emptyset$の場合、補題 4.1を有限ブロック$\{1,\ldots,m\}$と$J$に適用すると、任意の$B\in\mathcal F_m$に対して

を得る。

$B\in\mathcal F_m$を固定し、上の等式を満たす$C\in\mathcal H_{m+1}$全体を$\mathcal L_B$とする。$P(B\cap\Omega)=P(B)$であるから$\Omega\in\mathcal L_B$である。補集合については

であり、二つずつ交わらない可算和については可算加法性を用いることができる。したがって$\mathcal L_B$は Dynkin 系である。上の有限ブロックの議論から$\mathcal P_{>m}\subseteq\mathcal L_B$なので、π–λ 定理により$\mathcal H_{m+1}\subseteq\mathcal L_B$である。ゆえに$\mathcal F_m$と$\mathcal H_{m+1}$は独立である。

$\mathcal T\subseteq\mathcal H_{m+1}$であるため、$\mathcal T$から選んだ事象についても同じ積公式が成り立つ。したがって$\mathcal T$と$\mathcal F_m$は独立である。▨

証明.

と置き、$A\in\mathcal T$を固定する。補題 5.2により、任意の$m$と$B\in\mathcal F_m$に対して

である。

上の等式を満たす$B\in\mathcal F_\infty$全体を$\mathcal D_A$とする。前の補題の証明と同じく、$\Omega$、補集合、および二つずつ交わらない可算和について等式を確認すると、$\mathcal D_A$は Dynkin 系である。$(\mathcal F_m)$は増加列なので、$\bigcup_{m\geq1}\mathcal F_m$は π 系であり、

である。有限初項側との独立性から$\bigcup_m\mathcal F_m\subseteq\mathcal D_A$なので、π–λ 定理により$\mathcal F_\infty\subseteq\mathcal D_A$となる。

$A\in\mathcal T\subseteq\mathcal H_1=\mathcal F_\infty$であるから、$B=A$を上の等式へ代入することができる。したがって、

である。$0\leq P(A)\leq1$なので、$P(A)=0$または$P(A)=1$である。▨