§B2.12三角関数の微分 II

例 2.2 (三角関数を含む式を微分する). 次の4つの関数の導関数を求める。

$(1)$$y = \sin 3x$とする。公式 2.1により、すべての実数$x$について$y' = 3\cos 3x$である。

$(2)$$y = \cos^{2}x$とする。公式 2.1により、すべての実数$x$について$y' = -2\cos x\sin x$である。倍角の公式によって$y' = -\sin 2x$とも書くことができる。

$(3)$$x \ne \dfrac{\pi}{2}+n\pi$（$n$は整数）とし、$y = x\tan x$とする。§B2.10 定理 2.1と定理 1.1により

である。

$(4)$$x \ne \pi + 2n\pi$（$n$は整数）とし、$y = \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$とする。この範囲では$\cos x \ne -1$であるから$1 + \cos x > 0$であり、§B2.10 定理 3.1を用いることができて

である。

例 3.2 ($\sin x + \cos x$の増減と極値).$0 \le x \le 2\pi$の範囲で$f(x) = \sin x + \cos x$の増減を調べる。§B2.11 定理 3.1により$f'(x) = \cos x - \sin x$である。

$0 \le x \le 2\pi$で$f'(x) = 0$となるのは$\cos x = \sin x$のときであり、$x = \dfrac{\pi}{4}$と$x = \dfrac{5\pi}{4}$である。$\cos x > \sin x$となるのは$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}$と$\dfrac{5\pi}{4} < x \le 2\pi$の範囲であり、$\cos x < \sin x$となるのは$\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}$の範囲である。増減は次のようになる。

よって$f$は$x = \dfrac{\pi}{4}$で極大値$\sqrt2$をとり、$x = \dfrac{5\pi}{4}$で極小値$-\sqrt2$をとる。両端の値は$f(0) = f(2\pi) = 1$であるから、この範囲での最大値は$\sqrt2$、最小値は$-\sqrt2$である。

三角関数の合成によって$f(x) = \sqrt2\,\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$と書き直すことができ、値の範囲が$-\sqrt2 \le f(x) \le \sqrt2$であることと、最大値をとる$x$が$x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$すなわち$x = \dfrac{\pi}{4}$であることが確かめられる。

例 3.3 (導関数が$0$でも極値とは限らない).$0 \le x \le 2\pi$の範囲で$f(x) = \sin x\,(1+\cos x)$の増減を調べる。§B2.10 定理 2.1と§B2.11 定理 3.1により

であり、$\cos x$についての2次式として因数分解すると$f'(x) = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$である。

$0 \le x \le 2\pi$で$f'(x) = 0$となるのは、$\cos x = \dfrac12$すなわち$x = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}$の場合と、$\cos x = -1$すなわち$x = \pi$の場合である。すべての$x$について$\cos x + 1 \ge 0$であり、等号が成り立つのは$x = \pi$だけであるから、$x \ne \pi$では$f'(x)$の符号は$2\cos x - 1$の符号と一致する。増減は次のようになる。

$x = \pi$では$f'(\pi) = 0$であるが、その前後で$f'$の符号は負のまま変わらない。したがって$x = \pi$は極値をとる点ではない。極大値は$x = \dfrac{\pi}{3}$における$\dfrac{3\sqrt3}{4}$、極小値は$x = \dfrac{5\pi}{3}$における$-\dfrac{3\sqrt3}{4}$である。