§B2.3三角関数のグラフ

証明. 実数$x$に対応する単位円上の点$(\cos x,\sin x)$を固定する。実数$x$が動くとこの点は単位円全体を動くので、二つの座標がとる値の範囲はいずれも$[-1,1]$である。また、逆向きに角$x$だけ回転した点は$(\cos x,-\sin x)$であるから、$\sin(-x)=-\sin x$と$\cos(-x)=\cos x$が成り立つ。一周にあたる$2\pi$だけ回転しても点は変わらないため、$2\pi$は正弦と余弦の周期である。

正弦の正の周期を$T$とすると、$\sin T=\sin 0=0$であるから$T=n\pi$を満たす正の整数$n$が存在する。$n$が奇数ならば$\sin(\pi/2+T)=-1$となり、周期の条件$\sin(\pi/2+T)=\sin(\pi/2)=1$に反する。したがって$n$は偶数であり、正弦の最小の正の周期は$2\pi$である。余弦の正の周期を$T$とすると、$\cos T=\cos 0=1$であるから$T=2n\pi$を満たす正の整数$n$が存在する。ゆえに余弦の最小の正の周期も$2\pi$である。▨

証明.$\cos x\ne0$を満たす実数$x$を固定し、$\tan x=\sin x/\cos x$を用いる。分母が$0$になるのは$x=\pi/2+n\pi$（$n\in\mathbb Z$）のときであるから、定義域は主張の集合である。任意の実数$y$に対して、単位円上の点

に対応する角を$x$とすれば$\tan x=y$となるので、値域は$\mathbb R$である。$\sin(-x)=-\sin x$と$\cos(-x)=\cos x$から$\tan(-x)=-\tan x$が成り立つ。

角を半周動かすと正弦と余弦の符号が同時に反転するから、定義域のすべての$x$について$\tan(x+\pi)=\tan x$が成り立つ。さらに、正接の正の周期を$T$とすると、$\tan T=\tan0=0$であるから$T=n\pi$を満たす正の整数$n$が存在する。したがって正接の最小の正の周期は$\pi$である。$x$が$\pi/2+n\pi$に近づくとき、$|\sin x|$は$1$に近づき、$|\cos x|$は$0$に近づくので、$|\tan x|$はいくらでも大きくなる。ゆえに$x=\pi/2+n\pi$は垂直漸近線である。▨

証明.$T$を$y=\sin bx$の正の周期とすると、すべての実数$u$について$\sin(u+bT)=\sin u$が成り立つ。したがって$|b|T$は正弦の正の周期であり、$|b|T$は$2\pi$の正の整数倍である。ゆえに正の周期の最小値は$T=2\pi/|b|$である。実際、この$T$に対して$b(x+T)-bx$は$2\pi$または$-2\pi$となるので、$\sin(b(x+T))=\sin bx$がすべての実数$x$について成り立つ。▨

証明 (演習の解答).

1. $\sin x$の定義域は$\mathbb R$、値域は$[-1,1]$、基本周期は$2\pi$であり、奇関数である。$\cos x$の定義域は$\mathbb R$、値域は$[-1,1]$、基本周期は$2\pi$であり、偶関数である。$\tan x$の定義域は$\mathbb R\setminus\{\pi/2+n\pi\mid n\in\mathbb Z\}$、値域は$\mathbb R$、基本周期は$\pi$であり、奇関数である。
2. 単位円上で角$x$に対応する点を反時計回りに$\pi/2$だけ回転すると、もとの点の$x$座標が移動後の点の$y$座標になる。したがって$\cos x=\sin(x+\pi/2)$であり、$y=\cos x$は$y=\sin x$を$x$方向に$-\pi/2$だけ平行移動したグラフである。
3. $\tan 2x$の基本周期$T$は、$2T=\pi$を満たす最小の正の数であるから$\pi/2$である。定義されない点は$2x=\pi/2+n\pi$、すなわち$x=\pi/4+n\pi/2$（$n\in\mathbb Z$）である。これらの点を除いた定義域は、$T=\pi/2$の移動で保たれる。
4. $0\le x<2\pi$において、直線$y=1/3$は余弦のグラフと2点で交わるので、$\cos x=1/3$の解は2個である。同じ区間には正接の基本周期が2回含まれ、各周期で正接は実数の値を1回ずつとるので、$\tan x=100$の解も2個である。

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