§A3.13ド・モルガン則の一般形

次の否定（補集合）を、否定記号を内側へ押し込んだ形で書け。$\neg$ は述語の直前にしか現れない形（補集合は Aᵢ の直前にしか現れない形）にすること。

解法の型$\neg\forall x$ P $\equiv$$\exists x$$\neg P$、$\neg\exists x$ P $\equiv$$\forall x$$\neg P$、$\neg(A$$\land$ B) $\equiv$$\neg A$$\lor$$\neg B$、$\neg(A$$\lor$ B) $\equiv$$\neg A$$\land$$\neg B$、$\neg(A$$\Rightarrow$ B) $\equiv$ A $\land$$\neg B$。量化子の並び順は変えず、各記号だけを反転する

1. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

   解答・解説
   $$\lnot \Bigl( \forall x\, \forall y\, \bigl(P(x) \Rightarrow Q(x, y)\bigr) \Bigr)$$

2. 次の集合の補集合を、補集合を内側へ押し込んだ形で書け。

   解答・解説
   $$\overline{\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n}$$

3. 次の集合の補集合を、補集合を内側へ押し込んだ形で書け。

   解答・解説
   $$\overline{\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}$$

4. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

   解答・解説
   $$\lnot \Bigl( \exists x\, \forall y\, \forall z\, \bigl(P(x) \land (Q(x, y) \lor R(y, z))\bigr) \Bigr)$$

5. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

   解答・解説
   $$\lnot \Bigl( \exists x\, \exists y\, \forall z\, \bigl((P(x) \land Q(x, y)) \lor \lnot R(y, z)\bigr) \Bigr)$$

6. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

   解答・解説
   $$\lnot \Bigl( \exists x\, \forall y\, \bigl(P(x) \Rightarrow Q(x, y)\bigr) \Bigr)$$

7. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

   解答・解説
   $$\lnot \Bigl( \forall x\, \forall y\, \forall z\, \bigl((P(x) \land Q(x, y)) \lor \lnot R(y, z)\bigr) \Bigr)$$

8. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

   解答・解説
   $$\lnot \Bigl( \forall x\, \exists y\, \exists z\, \bigl((P(x) \Rightarrow Q(x, y)) \land (R(y, z) \lor \lnot P(x))\bigr) \Bigr)$$

9. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

   解答・解説
   $$\lnot \Bigl( \forall x\, \forall y\, \bigl(P(x) \Rightarrow (Q(x, y) \Rightarrow R(y))\bigr) \Bigr)$$

10. 次の命題の否定を、否定記号を内側へ押し込んだ形（$\neg$ が述語の直前にしか現れない形）で書け。

    解答・解説
    $$\lnot \Bigl( \forall x\, \forall y\, \exists z\, \bigl(P(x) \Rightarrow (Q(x, y) \Rightarrow R(y, z))\bigr) \Bigr)$$