§A3.6逆・裏・対偶

1 対偶は、もとの命題と真偽が一致する

この項目でもっとも重要な事実を先に述べます。

真理値表で確かめます。

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$\lnot q$	$\lnot p$	$\lnot q \Rightarrow \lnot p$
T	T	T	F	F	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

真理集合の言葉でも同じことが見えます。$p \Rightarrow q$は$P \subset Q$にあたり、対偶$\lnot q \Rightarrow \lnot p$は$\overline{Q} \subset \overline{P}$にあたります。$P$のどの要素も$Q$に属することと、$Q$に属さないどの要素も$P$に属さないことは、同じ包含関係を二つの側から述べたものです。

2 対偶による証明を選ぶ判断

もとの命題と対偶は真偽が一致するので、もとの命題を示す代わりに、対偶を示してもかまいません。どちらを示すかは、仮定から手がかりを取り出しやすいほうを選びます。

直接示そうとすると、仮定は$n^2 = 2k$となる整数$k$が存在することです。ここから$n$そのものについての情報を取り出すには、素因数分解の性質など、別の道具が必要になります。対偶を取ると、仮定から具体的な形を書き下すことができます。

判断の基準は、結論を否定したほうが、仮定として書き下せる情報が増えるかどうかです。この例では、「$n$は偶数である」という結論を否定して「$n$は奇数である」と仮定に回すと、$n = 2m+1$という具体的な形が手に入ります。もとの形では、$n^2$が偶数であるという情報から$n$の形を書き下すことができません。整数の偶奇、有理数と無理数の区別、不等式の向きのように、否定したほうが具体的な形を書きやすい条件が結論にあるときは、対偶による証明が有効です。

3 逆と裏は、もとの命題と真偽が一致するとは限らない

一方、逆と裏は、もとの命題と真偽が一致するとは限りません。

実数$x$についての命題「$x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$」は真です。

• 逆「$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$」は偽です。$x = -2$が反例になります。
• 裏「$x \ne 2 \Rightarrow x^2 \ne 4$」も偽です。同じく$x = -2$が反例になります。

逆と裏は互いに対偶の関係にあります。逆$q \Rightarrow p$の対偶は$\lnot p \Rightarrow \lnot q$で、これは裏そのものです。したがって、逆と裏の真偽は常に一致します。上の例で両方が偽になったのは偶然ではありません。