§A4.10フェルマーの最終定理 n = 4

1 より強い主張を証明する

証明するのは、次の主張です。

$x^4 + y^4 = z^2$を満たす正整数$x, y, z$は存在しない。

求めたいのは$x^4 + y^4 = z^4$の非存在ですが、こちらは$z^4 = (z^2)^2$なので、上の主張で$z$を$z^2$に置き換えたものにすぎません。したがって上を示せば、$n = 4$の場合が従います。

一見遠回りに見えますが、これは降下法では定石です。主張を強くした方が、降下の途中で作った解が再び同じ主張の反例になりやすくなります。 右辺を4乗に固定してしまうと、降下の途中で現れる「2乗」の形が主張の枠に収まらず、議論が続きません。

2 準備：原始ピタゴラス数の一般形

証明の中で二度使うので、先に用意します。

$a^2 + b^2 = c^2$を満たす正整数で$\gcd(a, b) = 1$、$b$が偶数のものは、$m > n > 0$、$\gcd(m, n) = 1$、$m$と$n$の偶奇が異なる整数$m, n$を使って$a = m^2 - n^2$、$b = 2mn$、$c = m^2 + n^2$と書ける。

導出はこうです。$\gcd(a,b) = 1$なので$a$と$b$が両方偶数になることはなく、両方奇数だと$c^2 = a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod 4$となって平方数になりません。よってちょうど一方が偶数で、仮定によりそれが$b$です。すると$a$と$c$は奇数です。

$b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a)$で、$c - a$と$c + a$はともに偶数なので、

$\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{c-a}{2} \cdot \frac{c+a}{2}$

と書けます。ここで$\dfrac{c-a}{2}$と$\dfrac{c+a}{2}$は互いに素です。共通の素因数$p$があれば、和$c$と差$a$の両方を$p$が割り、$\gcd(a, c) = 1$に反するからです。互いに素な二つの正整数の積が平方数なら、それぞれが平方数です（素因数分解の一意性から、各素因数の指数が片方にまとめて現れるため）。そこで

$\frac{c+a}{2} = m^2, \qquad \frac{c-a}{2} = n^2$

とおけば、$a = m^2 - n^2$、$c = m^2 + n^2$、$b^2 = 4m^2n^2$より$b = 2mn$が出ます。$\gcd(m, n) = 1$は$\gcd\!\left(\frac{c+a}{2}, \frac{c-a}{2}\right) = 1$から従い、$a$が奇数であることから$m, n$の偶奇は異なります。

3 証明：$x^4 + y^4 = z^2$に解はない

解があると仮定します。解の集合が空でないなら、その中で$z$が最小のものを選べます。この$(x, y, z)$から、より小さい$z$をもつ解を作って矛盾させます。

第1段：$x$と$y$は互いに素としてよい。 素数$p$が$x$と$y$の両方を割るとすると$p^4 \mid z^2$、したがって$p^2 \mid z$です。すると$\left(\frac{x}{p}, \frac{y}{p}, \frac{z}{p^2}\right)$も同じ方程式の正整数解で、$\frac{z}{p^2} < z$です。$z$の最小性に反するので、$\gcd(x, y) = 1$です。

第2段：一度目の一般形を当てる。$(x^2)^2 + (y^2)^2 = z^2$と読めば、これは$\gcd(x^2, y^2) = 1$を満たすピタゴラス数です。準備の導出で見たとおり、このとき$x^2$と$y^2$のちょうど一方が偶数であり、したがって$x$と$y$のちょうど一方が偶数です。必要なら入れ替えて$y$を偶数、$x$を奇数とします。準備の一般形により、

$x^2 = m^2 - n^2, \qquad y^2 = 2mn, \qquad z = m^2 + n^2$

と書けます（$m > n > 0$、$\gcd(m, n) = 1$、偶奇は異なる）。

第3段：$m$が奇数、$n$が偶数であること。$x^2 = m^2 - n^2$で$x$は奇数なので$x^2 \equiv 1 \pmod 4$です。もし$m$が偶数で$n$が奇数なら$m^2 - n^2 \equiv 0 - 1 \equiv 3 \pmod 4$となって合いません。よって$m$が奇数、$n$が偶数です。

第4段：二度目の一般形を当てる。 第2段の式を移項すると

$x^2 + n^2 = m^2$

で、これもピタゴラス数です。$\gcd(x, n) = 1$が成り立ちます（共通の素因数は$m^2$を割るので$m$を割り、$\gcd(m, n) = 1$に反します）。$n$が偶数なので、準備の一般形をそのまま使えて、

$x = a^2 - b^2, \qquad n = 2ab, \qquad m = a^2 + b^2$

と書けます（$a > b > 0$、$\gcd(a, b) = 1$、偶奇は異なる）。

第5段：三つの因子が平方数になること。$y^2 = 2mn = 2m \cdot 2ab = 4abm$なので、

$\left(\frac{y}{2}\right)^2 = a \cdot b \cdot m$

です。ここで$a$、$b$、$m$はどの二つも互いに素です。$\gcd(a,b) = 1$は上で得ており、$a$と$m = a^2 + b^2$の共通素因数は$b^2$を割るので$\gcd(a,b)=1$に反し、$b$と$m$も同様です。互いに素な因子の積が平方数なので、それぞれが平方数です。

$a = p^2, \qquad b = q^2, \qquad m = r^2$

第6段：降下。$m = a^2 + b^2$に代入すると

$r^2 = p^4 + q^4$

となり、$(p, q, r)$は最初の方程式の正整数解です。ところが

$r \leq r^2 = m \leq m^2 < m^2 + n^2 = z$

なので$r < z$です。$z$の最小性に矛盾します。

したがって$x^4 + y^4 = z^2$に正整数解はありません。$x^4 + y^4 = z^4$に解があれば$(x, y, z^2)$がその解になってしまうので、$x^4 + y^4 = z^4$にも正整数解はありません。

4 何が効いていたか

降下法の記事で挙げた三要素が、そのまま現れています。

• 反例の集合が空でないという仮定 — 解があるとした第1段の出発点。
• 最小の反例を選ぶこと —$z$を最小に取る。正の整数全体の空でない部分集合には最小元が存在するという整列性を使っています。
• 同じ問題の解を、より小さく作ること — 第6段で得た$(p, q, r)$は、同じ方程式の解であり、かつ$r < z$。

この二つ目と三つ目が両方そろって初めて降下です。第5段で$a$、$b$、$m$が平方数だと分かっただけでは、新しい「解」が得られただけで、小さくなっている保証がありません。$r \leq r^2 = m < z$という評価が、降下を成立させています。

6 演習

1. 第4段の$\gcd(x, n) = 1$を、本文の方針に沿って詳しく確かめよ。
2. 第5段の「$b$と$m$が互いに素」を確かめよ。
3. $x^4 + y^4 = z^2$の非存在から、$x^4 + y^4 = z^4$の非存在が従う手順を書け。また、この議論が$n = 8, 12, 16, \dots$にも使えることを説明せよ。
4. 準備の一般形で「$m$と$n$の偶奇が異なる」という条件を落とすと、どの結論が崩れるか答えよ。