§A4.11連分数

1 互除法と同じもの

$\frac{43}{30}$の展開を作ってみます。整数部分を取り出しては逆数を取る、の繰り返しです。

$$\frac{43}{30} = 1 + \frac{13}{30} = 1 + \frac{1}{\frac{30}{13}}, \qquad \frac{30}{13} = 2 + \frac{4}{13} = 2 + \frac{1}{\frac{13}{4}}, \qquad \frac{13}{4} = 3 + \frac{1}{4}.$$

ここで現れた整数$1, 2, 3, 4$を、ユークリッドの互除法と見比べてください：

$$43 = 1 \cdot 30 + 13, \qquad 30 = 2 \cdot 13 + 4, \qquad 13 = 3 \cdot 4 + 1, \qquad 4 = 4 \cdot 1.$$

互除法の商の列が、そのまま連分数の項です。 最大公約数を求めるあの計算は、実は数を連分数に展開する計算でもあったわけです。分数（有理数）なら互除法は必ず止まるので、連分数も有限で終わります。

2 無理数は無限連分数になる

では止まらない数、つまり無理数はどうなるか。$\sqrt2$でやってみると、$\sqrt2 = 1 + (\sqrt2 - 1) = 1 + \dfrac{1}{\sqrt2 + 1} = 1 + \dfrac{1}{2 + (\sqrt2 - 1)}$—— 括弧の中にさっきと同じ$\sqrt2 - 1$ が現れて、以後まったく同じ手順が無限に繰り返されます。

$$\sqrt2 = [1;\, 2, 2, 2, \dots], \qquad \frac{1 + \sqrt5}{2} = [1;\, 1, 1, 1, \dots]$$

黄金比が「すべての項が$1$」という一番簡素な無限連分数になるのは、$x = 1 + \frac1x$を満たすからです。単純連分数が最終的に周期的になる無理数は、実二次無理数、すなわち有理数係数の2次方程式の無理な解（同値に、$\mathbb Q$上の次数が2の実数）に限られます。したがって「平方根を1回含む形」に限定されるわけではありません。

3 途中で切ると、近似分数の性質が見える

無限連分数を途中で打ち切ると分数が得られます（近似分数）。これがただの近似ではありません。円周率$\pi = [3;\, 7, 15, 1, 292, \dots]$で試すと、

$$[3; 7] = \frac{22}{7} = 3.1428\dots, \qquad [3; 7, 15, 1] = \frac{355}{113} = 3.1415929\dots$$

$\frac{22}{7}$はアルキメデスの近似（はさみうちの閑話休題で登場したもの）、$\frac{355}{113}$は 5世紀の中国で祖沖之が見つけた驚異の分数で、たった3桁の分母で小数6桁まで合います。対象を無理数$\alpha$とし、その単純連分数の第$k$収束分数を$p_k/q_k$とします。収束分数（近似分数）は、一般の分数より誤差が小さくなりやすいだけでなく、厳密には次のような「第二種の最良近似」性を持ちます。$0<q<q_{k+1}$を満たす整数$p,q$について、$p/q\ne p_k/q_k$なら$|q_k\alpha-p_k|\le |q\alpha-p|$です（添字の端や等号の扱いは定理の規約に従います）。ここではこの定理を証明せず、近似の候補を系統的に作れることだけを使います。知っていると、$\pi \approx \frac{355}{113}$のような名近似を自分で量産できるわけです（電卓で「逆数を取っては整数部分を引く」を繰り返すだけ。一度やってみてください）。