四平方和定理 | 初等整数論ギャラリー

1 小さい数で確かめる

例 1.1 ( $15$ 以下の正の整数を四つの平方数の和として表す). $15$ 以下の各正の整数について、四つの平方数の和としての表示を一つずつ挙げると、次のようになる。項の数を四つに揃えるため、必要に応じて $0^2$ を補う。

$n$	表示	$0$ でない項の最小個数
$1$	$1 + 0 + 0 + 0$	$1$
$2$	$1 + 1 + 0 + 0$	$2$
$3$	$1 + 1 + 1 + 0$	$3$
$4$	$4 + 0 + 0 + 0$	$1$
$5$	$4 + 1 + 0 + 0$	$2$
$6$	$4 + 1 + 1 + 0$	$3$
$7$	$4 + 1 + 1 + 1$	$4$
$8$	$4 + 4 + 0 + 0$	$2$
$9$	$9 + 0 + 0 + 0$	$1$
$10$	$9 + 1 + 0 + 0$	$2$
$11$	$9 + 1 + 1 + 0$	$3$
$12$	$4 + 4 + 4 + 0$	$3$
$13$	$9 + 4 + 0 + 0$	$2$
$14$	$9 + 4 + 1 + 0$	$3$
$15$	$9 + 4 + 1 + 1$	$4$

$7$ と $15$ では、 $0$ でない項が四つ必要です。したがって、三つの平方数では足りない正の整数があり、四つという個数を減らすことはできません。上の計算は予想を立てる手段であって、すべての正の整数についての証明ではありません。

証明は二段に分かれます。第一段では、四つの平方数の和どうしの積がまた四つの平方数の和になるという等式を用意し、一般の正の整数の場合を素数の場合へ帰着させます。第二段では、素数の場合を無限降下法で示します。

2 四つの平方数の和どうしの積

公式 2.1 (四つの平方数の和どうしの積). 任意の整数 $a_1, a_2, a_3, a_4, b_1, b_2, b_3, b_4$ について

(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2) = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2

が成り立つ。ただし

\begin{aligned} c_1 &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4, \\ c_2 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3, \\ c_3 &= a_1 b_3 - a_3 b_1 + a_4 b_2 - a_2 b_4, \\ c_4 &= a_1 b_4 - a_4 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \end{aligned}

とする。

証明. 両辺を展開し、平方の項と交差項とを分けて比べます。

左辺を展開すると、 $1 \le i, j \le 4$ を動く $16$ 個の項 $a_i^2 b_j^2$ の和です。

右辺の各 $c_k^2$ を展開すると、平方の項として $4$ 個ずつ、合わせて $16$ 個の項が現れます。 $c_1^2$ からは $(i,j)$ が $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)$ のもの、 $c_2^2$ からは $(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)$ のもの、 $c_3^2$ からは $(1,3), (3,1), (4,2), (2,4)$ のもの、 $c_4^2$ からは $(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)$ のものが出ます。符号は平方によって消えるので、 $16$ 通りの $(i,j)$ がちょうど一度ずつ現れ、左辺と一致します。

残るのは交差項です。交差項はいずれも $2 a_i a_j b_k b_l$ （ $i \ne j$ ）の形をしているので、 $a_i a_j$ の組ごとにまとめます。 $a_1 a_2$ を含む交差項は、 $c_1^2$ から $+2a_1a_2b_1b_2$ 、 $c_2^2$ から $-2a_1a_2b_1b_2$ 、 $c_3^2$ から $-2a_1a_2b_3b_4$ 、 $c_4^2$ から $+2a_1a_2b_3b_4$ が出るので、合計は $0$ です。他の五つの組についても同様に、二つずつが符号だけ異なる形で現れて打ち消し合います。

$a_i a_j$	打ち消し合う組	打ち消し合う組
$a_1 a_2$	$c_1^2$ の $+b_1b_2$ と $c_2^2$ の $-b_1b_2$	$c_3^2$ の $-b_3b_4$ と $c_4^2$ の $+b_3b_4$
$a_1 a_3$	$c_1^2$ の $+b_1b_3$ と $c_3^2$ の $-b_1b_3$	$c_2^2$ の $+b_2b_4$ と $c_4^2$ の $-b_2b_4$
$a_1 a_4$	$c_1^2$ の $+b_1b_4$ と $c_4^2$ の $-b_1b_4$	$c_2^2$ の $-b_2b_3$ と $c_3^2$ の $+b_2b_3$
$a_2 a_3$	$c_1^2$ の $+b_2b_3$ と $c_4^2$ の $-b_2b_3$	$c_2^2$ の $-b_1b_4$ と $c_3^2$ の $+b_1b_4$
$a_2 a_4$	$c_1^2$ の $+b_2b_4$ と $c_3^2$ の $-b_2b_4$	$c_2^2$ の $+b_1b_3$ と $c_4^2$ の $-b_1b_3$
$a_3 a_4$	$c_1^2$ の $+b_3b_4$ と $c_2^2$ の $-b_3b_4$	$c_3^2$ の $-b_1b_2$ と $c_4^2$ の $+b_1b_2$

各行の四つの項は係数 $2a_ia_j$ を共有し、二つずつが符号だけ異なるので、和は $0$ です。したがって交差項の総和は $0$ であり、両辺は一致します。▨

例 2.2 (等式を数で確かめる). $(a_1, a_2, a_3, a_4) = (1, 2, 3, 4)$ 、 $(b_1, b_2, b_3, b_4) = (4, 3, 2, 1)$ とすると、左辺は $30 \times 30 = 900$ である。一方

c_1 = 4 + 6 + 6 + 4 = 20, \quad c_2 = 3 - 8 + 3 - 8 = -10, \quad c_3 = 2 - 12 + 12 - 2 = 0, \quad c_4 = 1 - 16 + 4 - 9 = -20

であり、 $20^2 + (-10)^2 + 0^2 + (-20)^2 = 400 + 100 + 0 + 400 = 900$ となって一致する。

3 素数の場合へ帰着させる

定理 3.1 (素数の場合に帰着すること). すべての素数が四つの平方数の和として表されるならば、すべての正の整数が四つの平方数の和として表される。

証明. $n = 1$ のときは $1 = 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2$ です。 $n \ge 2$ のときは、素因数分解によって $n$ を素数の積として書きます。各素因数は仮定によって四つの平方数の和として表されるので、公式 2.1を素因数の個数から $1$ を引いた回数だけ順に適用すると、積 $n$ もまた四つの平方数の和として表されます。▨

$2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2$ であるから、残るのは奇素数の場合です。

4 奇素数の倍数についての表示を作る

降下を始めるには、出発点となる表示が要ります。二平方和定理では $-1$ が平方剰余であることを用いましたが、四つの平方数を使うと、平方剰余の理論を用いずに出発点を作ることができます。

定理 4.1 (出発点となる合同式). $p$ を奇素数とする。このとき、 $0 \le x \le (p-1)/2$ と $0 \le y \le (p-1)/2$ を満たす整数 $x$ 、 $y$ で

x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p

を満たすものが存在する。

証明. $A = \{\, x^2 \bmod p : 0 \le x \le (p-1)/2 \,\}$ と $B = \{\, (-1 - y^2) \bmod p : 0 \le y \le (p-1)/2 \,\}$ を、法 $p$ の剰余の集合として考えます。

まず $A$ の要素の個数を数えます。 $0 \le x < x' \le (p-1)/2$ について $x^2 \equiv x'^2 \pmod p$ とすると、 $p$ は $(x' - x)(x' + x)$ を割り切ります。 $p$ は素数であり、 $0 < x' - x \le (p-1)/2 < p$ かつ $0 < x' + x \le p - 1 < p$ であるから、 $p$ はどちらの因数も割り切ることができず、矛盾です。よって $A$ の要素は相異なり、 $A$ の要素の個数は $(p+1)/2$ です。同じ理由で $B$ の要素の個数も $(p+1)/2$ です。

法 $p$ の剰余は全部で $p$ 個です。 $A$ と $B$ が共通の要素を持たないとすると、 $A \cup B$ の要素の個数は $(p+1)/2 + (p+1)/2 = p + 1$ となり、 $p$ を超えます。これは不合理なので、 $A$ と $B$ は共通の要素を持ちます。すなわち、 $x^2 \equiv -1 - y^2 \pmod p$ を満たす $x$ 、 $y$ が上の範囲に存在します。▨

この段では、法 $p$ の剰余を箱とみなして二つの集合を振り分けており、鳩の巣原理と同じ数え方を用いています。

5 素数の場合を降下で示す

定理 5.1 (奇素数の場合). $p$ を奇素数とする。このとき $p = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ を満たす整数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ が存在する。

証明の骨格は二平方和定理と同じです。まず $p$ の倍数 $mp$ についての表示を作り、その倍率 $m$ を最小に取ります。次に、最小の倍率が $1$ より大きいと仮定すると、より小さい倍率についての表示が得られることを示して矛盾を導きます。

証明. 第一段： $p$ の小さい倍数についての表示を作ります。定理 4.1により、 $0 \le x, y \le (p-1)/2$ で $x^2 + y^2 + 1^2 + 0^2$ が $p$ で割り切れるものがあります。この値を $mp$ とおくと

mp = x^2 + y^2 + 1 \le 2 \cdot \frac{(p-1)^2}{4} + 1 < p^2

であり、 $mp > 0$ であるから $1 \le m < p$ です。したがって、集合

S = \{\, m : 1 \le m < p,\ mp \text{ が四つの平方数の和として表される} \,\}

は空ではありません。 $S$ の最小の要素を $M$ とし、 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = Mp$ を満たす整数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ を取ります。以下、 $M = 1$ を示します。

第二段： $M$ が偶数である場合を排除します。 $M$ が偶数であるとします。 $Mp$ は偶数なので、 $x_1, x_2, x_3, x_4$ のうち奇数であるものの個数は偶数です。そこで番号を付け替えて、 $x_1 \equiv x_2 \pmod 2$ かつ $x_3 \equiv x_4 \pmod 2$ となるようにすることができます。すると

\frac{x_1 + x_2}{2}, \quad \frac{x_1 - x_2}{2}, \quad \frac{x_3 + x_4}{2}, \quad \frac{x_3 - x_4}{2}

はいずれも整数であり、その平方の和は

\frac{(x_1+x_2)^2 + (x_1-x_2)^2 + (x_3+x_4)^2 + (x_3-x_4)^2}{4} = \frac{2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2)}{4} = \frac{Mp}{2}

です。 $M$ が偶数であるから $M/2$ は $1$ 以上 $M$ 未満の整数であり、 $M/2 \in S$ となって $M$ の最小性に矛盾します。よって $M$ は奇数です。

第三段： $M > 1$ と仮定して、より小さい要素を作ります。 $M$ を奇数とし、 $M > 1$ と仮定します。 $M$ が奇数であるから、各 $i$ について

y_i \equiv x_i \pmod M, \qquad \lvert y_i \rvert < \frac{M}{2}

を満たす整数 $y_i$ を取ることができます。すると

y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 \equiv x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = Mp \equiv 0 \pmod M

であるから、 $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 = Mr$ を満たす $0$ 以上の整数 $r$ があります。さらに

Mr = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 < 4 \cdot \frac{M^2}{4} = M^2

であるから $0 \le r < M$ です。

第四段： $r = 0$ の場合を排除します。 $r = 0$ とすると、すべての $y_i$ が $0$ であり、 $M$ はすべての $x_i$ を割り切ります。すると $M^2$ は $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = Mp$ を割り切るので、 $M$ は $p$ を割り切ります。しかし $1 < M < p$ であり、 $p$ は素数なので、これは矛盾です。よって $1 \le r < M$ です。

第五段：降下を実行します。公式 2.1を $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ と $(y_1, y_2, y_3, y_4)$ に適用すると、左辺は $Mp \cdot Mr = M^2 pr$ です。右辺に現れる四つの値を $c_1, c_2, c_3, c_4$ とすると、 $y_i \equiv x_i \pmod M$ より

\begin{aligned} c_1 &\equiv x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 \equiv 0 \pmod M, \\ c_2 &\equiv x_1 x_2 - x_2 x_1 + x_3 x_4 - x_4 x_3 = 0 \pmod M, \\ c_3 &\equiv x_1 x_3 - x_3 x_1 + x_4 x_2 - x_2 x_4 = 0 \pmod M, \\ c_4 &\equiv x_1 x_4 - x_4 x_1 + x_2 x_3 - x_3 x_2 = 0 \pmod M \end{aligned}

が成り立ちます。したがって $z_i = c_i / M$ はすべて整数であり、両辺を $M^2$ で割ると

z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = pr

を得ます。 $1 \le r < M < p$ であるから $r \in S$ であり、 $M$ が $S$ の最小の要素であることに矛盾します。

第二段と第三段を合わせると $M = 1$ であり、 $p$ は四つの平方数の和として表されます。▨

6 四平方和定理

定理 6.1 (四平方和定理). すべての正の整数は、四つの平方数の和として表される。

証明. $2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2$ であり、奇素数については定理 5.1が表示を与えます。したがってすべての素数が四つの平方数の和として表され、定理 3.1によってすべての正の整数が四つの平方数の和として表されます。▨

7 二平方和定理との違い

注意 7.1 (平方剰余を用いない点). 二平方和定理では、出発点となる合同式 $x^2 \equiv -1 \pmod p$ の存在が $p \equiv 1 \pmod 4$ の場合に限られ、そのために平方剰余の理論を用いた。四平方和定理では、定理 4.1が示すとおり、 $x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$ を満たす $x$ 、 $y$ はどの奇素数についても存在する。条件が付かないのは、動かすことのできる変数が $x$ と $y$ の二つあるためであり、剰余の個数を数えるだけで存在が従う。この違いが、四平方和定理に例外が現れない理由である。

8 つまずいたら

公式 2.1の四つの式は、順序と符号を変えると成り立ちません。第三段以降で必要なのは、 $y_i \equiv x_i \pmod M$ を代入したときに $c_2$ 、 $c_3$ 、 $c_4$ が法 $M$ で $0$ になることであり、これは各式が $x_i x_j - x_j x_i$ の形へ落ちるように符号が配置されていることによります。
第二段の「 $M$ が偶数である場合」を飛ばすことはできません。第三段では $M$ が奇数であることを、 $\lvert y_i \rvert < M/2$ を満たす代表を取るために用いています。 $M$ が偶数のときは $\lvert y_i \rvert \le M/2$ までしか言うことができず、 $r < M$ の評価が閉じません。
降下で必要なのは、新しい表示を作ることではなく、倍率 $r$ が $M$ より真に小さいことです。同じ倍率の別の表示をいくら作っても、最小性には矛盾しません。
四つという個数を三つに減らすことはできません。例 1.1の $7$ と $15$ が、三つの平方数では表されない例です。
定理 3.1は、素数の場合が示されていることを仮定した主張です。この仮定が実際に満たされることは定理 5.1が担っており、二つを合わせて初めて定理 6.1が得られます。

§C3.7四平方和定理