§C1.1微積分学の基本定理

1 面積を端点の関数として表す

定積分では、関数が$x$軸より下にある部分を負として数えます。この約束によって得られる量を符号つき面積と呼びます。

$\int_a^x f(t)\,dt$の積分変数$t$は、足し合わせる位置を表すための文字です。積分を終えると$t$は式に残りません。一方、端点$x$は$S$の入力として残ります。したがって、面積関数を書くときは積分変数と動く端点に異なる文字を用います。

符号つき積分では

$$\int_a^a f(t)\,dt=0,\qquad \int_b^a f(t)\,dt=-\int_a^b f(t)\,dt$$

と定めます。この規約により、面積関数は$x<a$の場合にも同じ式で表されます。

2 面積関数を微分する

3 原始関数の端点差で計算する

原始関数を$F+C$に取り替えても、

$$\bigl(F(b)+C\bigr)-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a)$$

です。したがって、定積分の値は原始関数の選び方に依存しません。また、上端を動かす場合と下端を動かす場合には、定理 2.1と積分区間の向きから次の公式を得ます。

幾何的な面積は各部分を正として足しますが、定積分は$x$軸より下の部分を負として足します。そのため、関数が途中で符号を変えると、定積分とグラフで囲まれた部分の幾何的な面積は一般には一致しません。

原始関数を具体的に見つけることができない場合には、端点差による計算を直接実行することはできません。定積分を細かい長方形の和から構成することと、上の差商評価をその構成から完全に正当化することは、後続の解析学で扱います。

4 演習

解答.

$x\ge0$のとき、底辺が$x$、高さが$2x$の三角形の面積から$S(x)=x^2$である。$x<0$のとき、$[x,0]$では$2t\le0$であり、その符号つき面積は$-x^2$である。積分区間を$0$から$x$へ逆向きに進むため、$S(x)=-(-x^2)=x^2$となる。いずれの場合も$S'(x)=2x$である。▨

解答.

定理 2.1により

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$$

である。また、定積分の加法性から

$$\int_x^b f(t)\,dt=\int_a^b f(t)\,dt-\int_a^x f(t)\,dt$$

である。右辺の第一項は$x$によらないので、微分すると

$$\frac{d}{dx}\int_x^b f(t)\,dt=-f(x)$$

となる。▨

解答.

$(F-G)'=f-f=0$であるから、$F-G$は区間上で定数である。したがって、ある定数$C$によって$G=F+C$と書くことができる。よって

$$G(b)-G(a)=\bigl(F(b)+C\bigr)-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a)$$

となる。▨

解答.

$F(x)=x^2/2-x$は$f$の原始関数である。定理 3.1により

$$\int_0^3(x-1)\,dx=F(3)-F(0)=\frac32$$

となる。$[0,1]$では$f(x)\le0$であり、この部分の三角形の面積は$1/2$である。$[1,3]$では$f(x)\ge0$であり、この部分の三角形の面積は$2$である。したがって、幾何的な面積は$1/2+2=5/2$であるが、符号つき積分は$-1/2+2=3/2$となる。▨