この段の単元は、一つの分野の文献に自律的に入るための各論的な基礎である。一つを修めれば、その分野の平易な研究文献を自力で読み始めることができる、という水準に置いている。Part F が「異なる定義体系の対象を同じ議論で扱う」段だったのに対し、この段は縦に深い。文献が省略した中間段階を自分で埋め、引用された既知結果の仮定が手元の対象で満たされているかを確認する作業が中心になる。
単元数が34あるのは、この段が分野ごとに分岐するからである。ここに並ぶ単元をすべて履修することは想定していない。進む分野に応じて選ぶ。
この段に置く単元
| 単元 | 扱うこと |
|---|---|
| トポス理論 | サイトと Grothendieck 位相からサイト上の層と Grothendieck トポス、Giraud の定理、初等トポスと内部論理、Kripke–Joyal 意味論まで |
| Galois 圏 | ファイバー関手と副有限群から Galois 圏の公理と主定理、ファイバー関手の取り替えによる曖昧さ、基本群の関手性まで |
| 有限群論 | 置換群と p 群の構造から融合と移送による Sylow 理論の精密化、Hall 系、Fitting 列と一般化 Fitting 部分群、補部分群、局所解析、有限単純群の分類の道筋まで |
| 有限群の表現論 II | 標数 p の表現と Brauer 指標から分解行列、ブロックと欠陥群、Green 対応、Brauer の主定理まで |
| 可換環論続論 | 位相環上の形式的平滑性から Koszul 複体、深さ、局所コホモロジー、Cohen–Macaulay 環と射、Gorenstein 環、局所双対、Gorenstein 入射加群まで |
| ホモロジー代数 II | 三角圏と導来圏の構成から導来関手の導来圏的な定式化、スペクトル系列の収束条件、導来テンソル積と導来ホム、t 構造まで |
| Lie 環論 II | 圏 O と最高ウェイト圏から Verma 加群と BGG 分解、Harish-Chandra 準同型によるブロック分解、Kac–Moody 代数まで |
| 層コホモロジー | 導来関手による層コホモロジーの定義から脆弱層による計算、Čech コホモロジーとの比較定理、Leray のスペクトル系列まで |
| ホモトピー論 | 高次ホモトピー群と Kan ファイブレーションからモデル圏の基礎、単体的集合と位相空間の Quillen 同値、Postnikov 塔と障害理論まで |
| 類体論 | 副有限群の連続コホモロジーと既知の Brauer 群を用いて、局所類体論、イデール類群と大域相互律、Artin の相互律、Chebotarev の密度定理まで扱う |
| 位相群上の解析 | 局所コンパクト群の Haar 測度と畳み込みから Pontryagin 双対、Peter–Weyl の定理、Tannaka 双対への入口まで |
| 位相群・Lie 群の表現論 | ユニタリ表現と既約分解からコンパクト群の Peter–Weyl の定理、Weyl の積分公式による指標公式、誘導表現の連続版まで |
| 代数幾何入門 | アフィン多様体と零点定理から座標環による圏同値、射影多様体と双有理同値、次元と特異点、代数曲線の因子と Riemann–Roch の定理まで |
| 代数群論 | 線形代数群と Jordan 分解から Borel の不動点定理、極大トーラスとルートデータ、還元群の構造と Chevalley の分類、Bruhat 分解まで |
| スキーム論 | 環のスペクトルと構造層からスキームと射、分離性と固有性、準連接層、因子と直線束、射影スキームとコホモロジー、エタール射まで |
| 強制法と独立性 | 可算推移モデルと強制法の部分順序から生成拡大と真理補題、連続体仮説の独立性、Boole 値モデル、反復強制と巨大基数まで |
| Riemann 面 II | 因子と調和微分から Riemann–Roch の完全証明、周期行列、Abel–Jacobi 写像、theta 関数、Torelli の定理まで |
| 値分布論 | Nevanlinna の特性関数から第一・第二主要定理、欠如値と Picard の定理の一般化、Ahlfors–Shimizu の特性関数、正則曲線まで |
| 複素多様体論 | 複素多様体と正則直線束から Kähler 計量、Hodge 分解と Lefschetz 分解、Chern 接続の正値性、小平の消滅定理と埋め込み定理まで |
| シンプレクティック幾何 | Darboux–Moser 理論から運動量写像、シンプレクティック簡約、Lagrange 部分多様体、擬正則曲線まで |
| Arakelov 幾何 I | 有限・無限素点から Hermite 直線束、Green 関数、Arakelov 因子、算術交叉数、算術曲線の Riemann–Roch まで |
| 作用素環論 I | C*-環の正元・状態と GNS 構成から連続汎関数計算、可換 Gelfand 双対、表現と群 C*-環まで |
| 結び目理論 | 結び目図式と Reidemeister 移動から Seifert 曲面、結び目群、Alexander・Jones 多項式、組紐群と素分解まで |
| 3次元多様体論 | 素分解と Heegaard 分解から JSJ 分解、Dehn 手術、双曲3次元多様体、Thurston の八幾何と幾何化定理の主張まで |
| 偏微分方程式 | 特性曲線と二階方程式の分類から調和関数の最大値原理、熱核と Green 関数、弱解の枠組みによる存在、楕円型正則性と固有値問題まで |
| 臨界点理論と非線形楕円型方程式 | Palais–Smale 条件と変形補題から山の道定理の精密化、Ljusternik–Schnirelmann 理論と Morse 指数、非線形固有値問題、臨界指数における解の存在まで |
| 確率解析 I | Brown 運動の構成と二次変分から伊藤積分と伊藤の公式、確率微分方程式の存在と一意性、Girsanov の定理、Feynman–Kac の公式まで |
| 最適輸送 | Monge の問題と Kantorovich の緩和から双対定理、Brenier の定理と Monge–Ampère 方程式、Wasserstein 空間と変位凸性、勾配流まで |
| Riemann 幾何 II | 比較幾何から Laplace–Beltrami 作用素と熱核、極小曲面と調和写像、spin 構造、Dirac 作用素と複体の調和解析まで |
| 幾何学的群論 | 生成系と Cayley グラフから語距離と準等長、Švarc–Milnor の補題、群の増大度と Gromov の定理、端の理論、双曲群まで |
| 位相的 K 理論 | ベクトル束と接続で構成した特性類を前提として、K 群と Bott 周期性、Chern 指標と有理コホモロジー、Atiyah–Hirzebruch のスペクトル系列まで |
| コボルディズム論 | コボルディズム関係と Thom の横断性定理から Thom 空間と Pontryagin–Thom 構成、コボルディズム環の決定、h-コボルディズム定理と手術理論まで |
| 力学系と制御 | 流れと不変集合、線形化と Hartman–Grobman の定理から Lyapunov 安定性、分岐、カオスと記号力学、可制御性と最適制御まで |
| 数理ファイナンス | 無裁定の原理と二項モデルからリスク中立測度によるマルチンゲール価格付け、Black–Scholes 公式の導出、グリークスとモデルの限界まで |
この並びにした理由
34単元は、分野ごとの9つのまとまりとして捉えることができる。
圏と論理の高階（トポス理論、Galois 圏、強制法と独立性）は、Part F で道具として使った圏と論理を、それ自体が研究対象である水準へ引き上げる。トポス理論は Part F の圏論 II で管理した大きさの条件の上に立ち、論理を圏の内部言語として読み替える。Galois 圏は「被覆の分類」という構造を圏論的な公理系として取り出す。強制法と独立性は、無矛盾性の証明という集合論固有の技術を扱う。
群と表現（有限群論、有限群の表現論 II、Lie 環論 II、位相群・Lie 群の表現論、代数群論、幾何学的群論）は、Part E の群論入門と Part F の有限群の表現論・Lie 環論を、それぞれ別の方向へ深める。有限群論は Sylow の定理の先で融合と移送を扱い、有限単純群の分類へ向かう道筋を示す。有限群の表現論 II は標数 p の体の上へ移り、半単純性が破れたところをブロックと欠陥群で測る。位相群・Lie 群の表現論は有限群の理論を連続群へ移すために、Lie 群論・関数解析・位相群上の解析という Part F の3つを同時に前提とする。代数群論は群を代数多様体として扱い、ルートデータによって Lie 環論の分類を代数的に再現する。幾何学的群論は逆に、群を語距離の入った距離空間として扱い、準等長で不変な量から群の構造を読む。
環と加群の深化（可換環論続論、ホモロジー代数 II）は、Part E の環論入門と Part F の可換環論・ホモロジー代数が用意した対象へ、深さと双対性および導来圏の技術を持ち込む。可換環論続論は形式的平滑性を発展させた後に Cohen–Macaulay 性、Gorenstein 性および局所双対へ進む。ホモロジー代数 II のスペクトル系列と導来圏は、層コホモロジーと代数幾何が前提として要求する。
位相と幾何（層コホモロジー、ホモトピー論、幾何解析、位相的 K 理論、コボルディズム論）は、Part F の代数的位相幾何・微分位相幾何・ベクトル束と接続・距離空間と測度距離空間を共通の前提として、空間と束の不変量を構成する。層コホモロジーは局所から大域への障害を測り、代数幾何と複素幾何の共通言語になる。位相的 K 理論は、Part F のベクトル束と接続が構成した特性類を前提として、束のなす環を K 群として扱い、Chern 指標で有理コホモロジーと結ぶ。コボルディズム論は、多様体そのものをコボルディズム関係で分類し、Pontryagin–Thom 構成によってその分類をホモトピー論の問題へ翻訳する。幾何解析は、Part F の Riemann 幾何で計算した曲率を仮定として置き、その上で偏微分方程式を解く。比較定理で直径と体積を抑え、Laplace–Beltrami 作用素の固有値と熱核で曲率を読み取り、Ricci flow で計量そのものを動かす。多様体の族が収束するという議論は、Part F の距離空間と測度距離空間が用意した Gromov–Hausdorff 収束の上で行う。
複素幾何（複素多様体論、値分布論）は、Part F の多変数複素解析と Riemann 面を土台に、複素構造そのものを幾何の対象として扱う。複素多様体論は Kähler 計量の上で Hodge 分解を導き、小平の埋め込み定理によって、どの複素多様体が射影多様体になるのかを曲率の正値性で判定する。値分布論は有理型関数が各値をどれだけ取るのかを特性関数で測り、Picard の定理を量的な形へ精密化する。
数論（類体論）は、Part F の代数的整数論と解析的整数論の両方を前提として、アーベル拡大を基礎体の算術的なデータで分類する。代数的な相互律と解析的な密度定理が一つの理論の中で使われるため、どちらか一方では立ち上がらない。
代数幾何（代数幾何入門、スキーム論）は、幾何的な対象を環の言葉へ翻訳する。代数幾何入門が古典的な多様体の上で Riemann–Roch までを扱い、スキーム論が同じ構成を一般の基礎環の上で実行できるようにする。
解析と確率（偏微分方程式、臨界点理論と非線形楕円型方程式、確率解析 I、最適輸送）は、Part F の超関数と Sobolev 空間・確率過程・変分法を土台に、解の存在と表現を扱う。偏微分方程式と確率解析 I は生成作用素を通じて往復する。臨界点理論は、Part F の変分法が最小化で捉えた解の存在を、最小値を取らない臨界点まで広げる。最適輸送は、二つの分布を移す最小費用という変分問題から、Wasserstein 空間という幾何と、発展方程式を勾配流として読む見方を得る。
応用へ出ていく単元（力学系と制御、数理ファイナンス）は、Part E の常微分方程式と Part F の確率過程を、数学の外から来る問題へ当てる。力学系と制御は解の長時間の挙動と制御則を扱い、数理ファイナンスは無裁定という経済学の仮定を確率過程の言葉へ翻訳して、同じ価格付けを離散時間と連続時間の二つの枠組みで扱う。
参考にした基準
- ホモロジー代数・代数幾何を、環と圏の言葉が揃った後の学部後半から大学院初年の科目として置く配置は、東京大学の数学科カリキュラムや高等師範学校（ENS）のMathématiquesに共通して見られる。
- 偏微分方程式を、Fourier 解析・関数解析・超関数の後に置く配置は、マサチューセッツ工科大学のMathematicsカリキュラムやケンブリッジ大学のMathematical Triposに見られる。常微分方程式を学部前半、偏微分方程式を学部後半に分ける構成が共通している。
- 類体論・幾何解析・スキーム論・表現論を、選択科目として学部最終学年から大学院初年に置く点は、清華大学の数学系培養計画やボン大学のBachelor Mathematikにも現れる。
前の段・次の段へ
Part F（学部課程後期〜修士課程初期）で必要なコアを固めると、この段の単元へ分野ごとに進むことができる。ここまでを終えると、Part Hで、複数の分野の枠組みを比較して選び、専門の課題に必要なものを取り込む段階に立つ。