この段は、本サイトのロードマップが扱う範囲の最後にあたる。Part G の単元が一つの分野の中を縦に深く進むのに対し、この段では複数の分野の枠組みを比較して選び、専門の課題に必要なものを取り込み、取り込んだ結果として何を仮定したのかを点検する。数学内部の複数理論を統合する単元と、物理・情報科学へ接続する単元を9つ置く。
この段に置く単元
| 単元 | 扱うこと |
|---|---|
| AI の数学 | 勾配降下法と最小二乗法から過学習とバイアス・バリアンス分解、普遍近似定理、確率的勾配降下の収束、カーネル法と汎化誤差の上界まで |
| ゲージ理論 | Yang–Mills 方程式と反自己双対接続から Uhlenbeck コンパクト性、Donaldson 理論、Seiberg–Witten 理論まで |
| Hodge 理論 I | 純 Hodge 構造と周期領域から周期写像、Hodge 構造の変動・退化、混合 Hodge 構造とその Abel 圏まで |
| 淡中圏 | 剛体対称 monoidal 圏と fiber functor から中立・非中立の淡中双対、基本群 scheme と motivic Galois 群への接続まで |
| 遠アーベル幾何 | 双曲的曲線の算術基本群から切断予想、Neukirch–Uchida 型復元、双有理遠アーベル幾何まで |
| 指数定理 | 楕円型作用素の解析的指数から symbol の K 理論類、位相的指数、Atiyah–Singer の指数定理と局所公式まで |
| 作用素環論 II | von Neumann 環と因子の型分類から Tomita–Takesaki 理論、交差積、超有限因子、部分因子と Jones 指数まで |
| 4次元トポロジー | 交叉形式と handle 分解から Casson handle、Freedman 理論、位相的4次元 Poincaré 定理の完全証明、exotic R4 まで |
| Arakelov 幾何 II | 算術 Chow 群と Green current から算術 Chern 類・K 理論、解析的 torsion、算術 Riemann–Roch と高次元の高さまで |
この並びにした理由
9単元は、いずれも複数の分野の枠組みを組み合わせ、採用する定理と仮定を課題ごとに点検するという性格を共有する。
AI の数学は、Part E の線形代数 II・実解析 II・確率論、Part F の関数解析・凸最適化という複数のコアが交差する場所に立つ。普遍近似定理は関数解析、確率的勾配降下の収束は凸最適化、汎化誤差の上界は確率論という具合に、主張ごとに引く枠組みが違う。
幾何と位相（ゲージ理論、Hodge 理論 I、指数定理、4次元トポロジー）は、解析・位相・代数幾何の異なる証明機構を同じ対象の上で比較する。4次元トポロジーでは位相的分類と滑らかな分類を区別し、滑らかな4次元 Poincaré 予想を解決済みの定理として扱わない。
代数と数論（淡中圏、遠アーベル幾何、Arakelov 幾何 II）は、圏から群を復元する理論、基本群から曲線や体を復元する理論、有限素点と無限素点を統合する交叉理論を扱う。作用素環論 IIは非可換測度論と力学系を von Neumann 環の構造へまとめる。
参考にした基準
- 微分幾何の発展としてゲージ理論を置き、物理との接点を扱う配置は、ケンブリッジ大学のMathematical Triposやマサチューセッツ工科大学のMathematicsカリキュラムに見られる。
- AI の数学は比較的新しい学際領域のため特定の学部カリキュラムを直接の根拠にはしていないが、線形代数・凸最適化・確率という複数のコアを前提とする専門基礎として、上記のカリキュラムにおける応用数学トラックの位置づけに準じている。
前の段・次の段へ
Part Gで進む分野を決め、その分野の文献に自力で入れるようになると、この段の単元では枠組みそのものを選ぶ側に立つことができる。
Part H は、本サイトのロードマップが扱う範囲の終点である。この先には、数論幾何・高次元代数幾何・大域解析学・確率解析の発展があり、Part H までの内容がその出発点になる。